Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Images et antécédents
2. Représentation graphique des fonctions
3. Résolution graphique des équations
4. Fonctions affines et coefficients
5. Taux de variation et monotonie
6. Lecture graphique des fonctions
7. Exploitation d’un tableau de variations
8. Calculs algébriques sur les fonctions
9. Fonctions affines et taux de variation
10. Résoudre graphiquement équations et inéquations
11. Reconnaître, tracer et étudier les fonctions affines
12. Images et antécédents d’une fonction
13. Factorisation et antécédents quadratiques
14. Fonctions affines
15. Taux de variation et variations

📖 1. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : L’unique nombre obtenu en appliquant la fonction à x
• Antécédent : Un nombre x tel que f(x)=y
• Ensemble de définition : L’ensemble des nombres que l’on peut utiliser comme entrée de cette fonction

★ À maîtriser

• Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction et on effectue le calcul.

• Pour déterminer un antécédent de y, on résout l’équation f(x)=y.

Compléments

• Pour f(x)=2x et g(x)=x−10, les ensembles de définition sont respectivement D_f=ℝ et D_g=ℝ.

• Pour h(x)=√x, l’ensemble de définition indiqué est D_h=ℝ⁺.

• Pour g(x)=x²−2, l’image de 6 est g(6)=6²−2=34.

• Pour f(x)=2x−3, un antécédent de −5 est −1, car f(−1)=−5.

💡 Astuce mémo

L’antécédent entre dans la machine, l’image en sort.

📖 2. Représentation graphique des fonctions

★ À maîtriser

• Pour représenter une fonction, on calcule des images pour plusieurs valeurs de x, place les points correspondants dans un repère puis trace la courbe avec précision et un trait fin.

• Sur la courbe représentative d’une fonction, les abscisses sont les valeurs de x et les ordonnées correspondent aux images f(x).

• Un point (a;b) appartient à la courbe de f si et seulement si f(a)=b.

• Pour une fonction f, les écritures f(a)=b, a↦b, le point (a;b) appartenant à C_f et « a est solution de f(x)=b » expriment la même correspondance.

• Un point de coordonnées (a;b) appartient à la courbe C_f si et seulement si f(a)=b.

Compléments

• L’équation de la courbe représentative d’une fonction f se note généralement y=f(x).

• Pour f(x)=x²−3x−10, le point A(−4;18) appartient à la courbe car f(−4)=18, tandis que B(5;1) n’y appartient pas car f(5)=0.

• Pour vérifier si un point (a;b) appartient à la courbe d’une fonction donnée par une expression, on calcule f(a) puis on compare le résultat à b.

• Pour f(x)=2x²−3x+2, les points A(0;2), B(1;1), D(−3;29), E(10;172) et F(125;30 877) appartiennent à C_f, tandis que C(−2;4) n’y appartient pas.

📖 3. Résolution graphique des équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre graphiquement f(x)=k, on cherche les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec la droite horizontale y=k.

📌 Une résolution graphique donne des solutions approchées et ne garantit pas que toutes les solutions ont été repérées au-delà de la partie représentée.

Compléments

• Pour f(x)=5x−x², les solutions de 5x−x²=4 sont S={1;4}.

• Pour f(x)=5x−x², l’équation f(x)=7 ne semble pas avoir de solution sur la courbe représentée, car celle-ci n’y atteint pas l’ordonnée 7.

💡 Astuce mémo

L’équation f(x)=k se lit aux intersections de la courbe avec la droite horizontale y=k.

📖 4. Fonctions affines et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction dont l’expression s’écrit f(x)=mx+p, où m et p sont des nombres réels
• Coefficient directeur : Dans l’expression f(x)=mx+p d’une fonction affine, m est le coefficient directeur de sa droite représentative
• Ordonnée à l’origine : Dans l’expression f(x)=mx+p d’une fonction affine, p est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée de la droite lorsque x=0

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine f(x)=mx+p, si m>0, f est croissante sur ℝ, et si m<0, f est décroissante sur ℝ.

Compléments

📌 Une fonction affine est linéaire si p=0 et constante si m=0.

• Le coefficient directeur d’une droite est aussi appelé taux de variation entre les abscisses des deux points utilisés.

• Pour déterminer une fonction affine passant par deux points, on calcule d’abord son coefficient directeur avec leurs coordonnées, puis on détermine p en remplaçant x et f(x) par les coordonnées de l’un des points.

• La fonction affine dont la courbe passe par A(2;−1) et B(6;7) est f(x)=2x−5.

📖 5. Taux de variation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Croissante, décroissante ou constante sur un intervalle

★ À maîtriser

📌 Si le taux de variation de f entre deux nombres quelconques d’un intervalle est toujours positif, f y est strictement croissante; s’il est toujours négatif, f y est strictement décroissante; s’il est toujours nul, f y est constante.

Compléments

• Pour f(x)=2x²+1, le taux de variation entre 1 et 3 vaut 8 et correspond à la pente de la droite passant par les points de la courbe d’abscisses 1 et 3.

• Pour f(x)=5x−3, montrer que f est strictement croissante sur ℝ revient à établir que son taux de variation entre deux nombres distincts de ℝ est positif.

📖 6. Lecture graphique des fonctions

★ À maîtriser

• La fonction représentée dans l’exercice 1 est définie sur l’intervalle [-6 ; 10].

• La résolution graphique de f(x) > 0 donne [-6 ; 2[ ∪ ]5 ; 8[.

• Le maximum de f sur son domaine est 4, atteint en x=-3.

• Le minimum de f sur son domaine est -3, atteint en x=4 et en x=10.

Compléments

• La résolution graphique de f(x) ≤ 2 donne l’ensemble de solutions [1 ; 10].

• Les valeurs relevées dans le tableau de l’exercice 1 sont f(-6)=2, f(0)=3, f(1)=2, f(2)=0, f(4)=-3, f(5)=0, f(6)=1, f(8)=0 et f(10)=-3.

• La lecture du tableau de variations indique que f croît de -6 à -3, décroît de -3 à 4, croît de 4 à 6, puis décroît de 6 à 10.

📖 7. Exploitation d’un tableau de variations

★ À maîtriser

• Le domaine de définition de la fonction du deuxième tableau de variations est [-4 ; 8].

📌 D’après le tableau de variations, f(-2)>f(2), la comparaison entre f(2) et f(6) est impossible, et f(5)≤f(7).

Compléments

• Le tableau de variations permet de lire f(3)=0 et indique que 8 est un antécédent de 5.

• Pour x∈[-2 ; 8], les valeurs de f sont encadrées par 0≤f(x)≤5.

📖 8. Calculs algébriques sur les fonctions

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction f définie par f(x)=2x²-6x-20 peut aussi s’écrire $f(x)=2(x+2)(x-5)$.

• Les antécédents de -20 par f(x)=2x²-6x-20 sont 0 et 3.

Compléments

• Pour f(x)=2x²-6x-20, on a f(-2)=0 et f(-3)=16.

📖 9. Fonctions affines et taux de variation

★ À maîtriser

• Les fonctions affines g(x)=2x-5 et h(x)=-5x+8 ont pour représentations graphiques des droites.

• La fonction h(x)=-5x+8 s’annule en x=8/5, est positive pour x<8/5 et négative pour x>8/5.

📐 Formule - Le taux de variation d’une fonction g entre 2 et 6 est $\frac{g(6)-g(2)}{6-2}$ ; pour g(x)=x³-6x, il vaut 46.

• Dans l’exercice sur le coût et la recette, les deux courbes se croisent pour des productions d’environ 10 et 44 tonnes, et l’entreprise réalise un bénéfice pour x∈[10 ; 44] environ.

Compléments

• Pour la fonction affine vérifiant f(7)=22 et f(13)=40, le coefficient directeur vaut 3 et l’expression de f est f(x)=3x+1.

📖 10. Résoudre graphiquement équations et inéquations

★ À maîtriser

• Pour construire un tableau de signes à partir d’une courbe, on repère ses intersections avec l’axe des abscisses, on place leurs abscisses dans le tableau, puis on complète les intervalles par les signes − ou +.

• Pour résoudre graphiquement f(x)=k ou une inéquation comparant f(x) à k, on trace la droite horizontale de hauteur k, on repère les parties de la courbe égales à k ou situées au-dessus ou en dessous, puis on lit les abscisses correspondantes.

Compléments

• Pour la courbe de l’exercice 1, le domaine de définition est [-8 ; 3], les zéros sont −4,5 et 1, et les solutions de f(x)≤0 sont [−4,5 ; 1].

• Dans l’exercice 1 de l’interrogation, les solutions de f(x)=−1 et de f(x)≤−1 sont toutes deux [-4 ; 0,5], tandis que celles de f(x)>−1 sont [-8 ; −4[ ∪ ]0,5 ; 3].

📖 11. Reconnaître, tracer et étudier les fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction qui s’écrit g(x)=ax, où a est un nombre réel.
• Fonction constante : Une fonction qui prend la même valeur pour tout x ; par exemple, h(x)=1 est constante.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, que l’on peut tracer à partir de deux points.

Compléments

• La fonction f(x)=2x+3 est affine, avec a=2 et b=3.

• Pour j(x)=−⅓x+2, deux points de la représentation graphique sont (0 ; 2) et (3 ; 1).

• La fonction m(x)=−2x+4 est décroissante sur [−5 ; 5], car son coefficient directeur est négatif.

• 🔄 On peut déterminer l’équation de la droite ainsi :

  1. Choisir deux points de la droite.
  2. Calculer le coefficient directeur à partir de leurs coordonnées.
  3. Utiliser les coordonnées des points pour identifier l’équation.

• Pour étudier le signe de m(x)=−2x+4, on résout m(x)=0, ce qui donne x=2 ; m(x) est positif avant 2 et négatif après 2.

📖 12. Images et antécédents d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : La valeur obtenue en appliquant la fonction à x ; par exemple, si C(x)=x², alors C(5)=25 et 25 est l’image de 5.
• Antécédent : Un nombre x tel que f(x)=y ; une valeur peut avoir plusieurs antécédents.

★ À maîtriser

📌 Une fonction ne peut pas associer plusieurs images différentes à un même nombre.

Compléments

• Pour f(x)=7x−4, l’image de 10 est 66 et l’antécédent de −18 est −2.

• Pour g(x)=5x²+1, les antécédents de 501 sont 10 et −10.

• Pour la fonction T qui associe à chaque heure la température relevée, T(10)=7 signifie qu’à 10 h il fait 7 °C ; les antécédents de 10 sont 12 et 17, correspondant à 12 h et 17 h.

• Dans l’exercice du trapèze, x=BM avec BC=22, donc le domaine de la fonction f(x)=DM est [0 ; 22].

💡 Astuce mémo

Image : on part de x ; antécédent : on cherche le ou les x associés à une valeur.

📖 13. Factorisation et antécédents quadratiques

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, la fonction définie par f(x)=x²−12x+11 peut s’écrire f(x)=(x−11)(x−1).

• Pour la fonction f(x)=x²−12x+11, les antécédents de 0 sont 1 et 11, et les antécédents de 11 sont 0 et 12.

Compléments

• Pour la fonction f(x)=x²−12x+11, f(3)=−16 et f(−2)=39.

• Dans l’exercice sur le trapèze rectangle, la question porte sur l’existence d’un antécédent de 7 par la fonction f qui associe à x=BM la longueur DM.

📖 14. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction qui s’écrit f(x)=ax+b, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le coefficient directeur d’une droite passant par les points de coordonnées (x₁;f(x₁)) et (x₂;f(x₂)) est $a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

• Pour une fonction affine, la représentation graphique est une droite.

📖 15. Taux de variation et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient de la différence des images par la différence des antécédents, soit $\tau=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

★ À maîtriser

📌 Un taux de variation positif entre deux points ne suffit pas à établir que la fonction est croissante sur tout l’intervalle compris entre leurs antécédents.

Compléments

• Entre les points C(2;1) et D(7;3), le taux de variation vaut $\tau=\frac{3-1}{7-2}=\frac{2}{5}=0{,}4$.

• Dans un tableau de variations, les flèches indiquent les intervalles où la fonction augmente ou diminue et les valeurs prises aux bornes ou aux points de changement de variation.

💡 Astuce mémo

Un taux positif entre deux points ne garantit pas une fonction croissante entre ces points.