Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes de degré deux
2. Forme canonique et sommet
3. Racines et factorisation du trinôme
4. Signe du trinôme

📖 1. Fonctions polynômes de degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

• La fonction $f(x)=2x^2-4x+3$ est un polynôme du second degré, tandis que $g(y)=y-3$ ne l’est pas car son coefficient du terme carré est nul.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point $S(\alpha;\beta)$ situé sur son axe de symétrie, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• La fonction atteint son extremum $\beta$ en $\alpha$ ; cet extremum est un minimum si $a>0$ et un maximum si $a<0$.

Compléments

• Pour $P(x)=-2x^2+5x-1$, la forme canonique est $P(x)=-2\left(x-\frac54\right)^2+\frac{17}{8}$, et la fonction atteint son maximum $\frac{17}{8}$ en $x=\frac54$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a distingue le minimum si a > 0 du maximum si a < 0.

📖 3. Racines et factorisation du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un trinôme : Une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle ; si $\Delta=0$, il a une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, il a deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

Compléments

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’est pas factorisable dans ℝ ; si $\Delta=0$, il s’écrit $a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta>0$, il s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Pour $P(x)=-2x^2+5x-1$, le discriminant vaut $17$, les racines sont $\frac{5-\sqrt{17}}{4}$ et $\frac{5+\sqrt{17}}{4}$, et $P(x)=-2\left(x-\frac{5-\sqrt{17}}{4}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{17}}{4}\right)$.

📖 4. Signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$ et si $x_1<x_2$ sont les racines, le trinôme est du signe de a sur $]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[$ et du signe opposé sur $]x_1;x_2[$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme a le signe de a sur ℝ ; si $\Delta=0$, il a le signe de a et s’annule en $-\frac{b}{2a}$.

• Lorsque le trinôme possède des racines réelles, il est du signe de a sauf entre ses racines.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule le discriminant, on détermine les racines réelles éventuelles, puis on établit le signe du trinôme sur les intervalles délimités par ces racines.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, le signe change aux deux racines et s’inverse entre elles.