Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction du second degré et forme canonique
2. Sommet et variations de la parabole
3. Discriminant et racines du trinôme
4. Factorisation du trinôme
5. Signe du polynôme du second degré

📖 1. Fonction du second degré et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

📌 Une fonction affine comme $g(y)=y-3$ n’est pas du second degré, car son coefficient de terme quadratique est nul.

📖 2. Sommet et variations de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point $S(\alpha;\beta)$ situé sur son axe de symétrie, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction atteint son minimum $\beta$ en $x=\alpha$.

Compléments

📌 Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et la fonction atteint son maximum $\beta$ en $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’orientation de la parabole, donc la nature de l’extrémum.

📖 3. Discriminant et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un trinôme : Une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux racines réelles distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’unique racine double est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Les solutions réelles de l’équation du second degré correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

📖 4. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses deux racines réelles distinctes.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable en facteurs du premier degré dans ℝ.

• Pour résoudre directement une équation sans terme constant ou sans terme en x, on peut factoriser par x ou isoler le terme carré, puis résoudre l’équation obtenue.

📖 5. Signe du polynôme du second degré

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$ et si $x_1<x_2$ sont les deux racines, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de l’intervalle $]x_1;x_2[$ et du signe opposé entre les racines.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a pour tout réel x, sauf en sa racine double où il s’annule.

• Pour $-x^2-3x+6$, le discriminant vaut 33 et les racines sont $\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$ et $\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le trinôme a le signe de a ; entre elles, il prend le signe opposé.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant, racines et factorisation