QCM : Polynômes du second degré (11 questions)

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=ax^2+bx

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a=0

f(x)=ax^3+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec des coefficients réels et un coefficient quadratique non nul. Omettre $c$ réduit la forme générale, prendre $a=0$ supprime le degré 2, et un terme en $x^3$ donne un degré 3.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\ne0$$

Question 2

2. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est la forme canonique obtenue en calculant $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$ ?

2(x-2)^2-5

2(x+2)^2-5

2(x-2)^2-8

(x-2)^2-5

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$ , puis $\beta=f(2)=8-16+3=-5$ , donc $f(x)=2(x-2)^2-5$ . L’abscisse opposée inverse le signe, retirer le facteur 2 modifie le terme quadratique, et $-8$ ne tient pas compte de la valeur de $f(2)$ .

Answer

$$2(x-2)^2-5$$

Question 3

3. Une parabole a pour fonction $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelles coordonnées a son sommet $S(\alpha;\beta)$ ?

S(2;7)

S(2;-5)

S(-2;19)

S(-12;583)

Explication

L’abscisse vaut $\alpha=-\frac{-12}{2\times3}=2$ , et $\beta=f(2)=12-24+7=-5$ ; le sommet est donc $S(2;-5)$ . L’abscisse opposée donne $-2$ , le coefficient linéaire n’est pas l’abscisse, et $7$ est le terme constant plutôt que la valeur au sommet.

Answer

$$S(2;-5)$$

Question 4

4. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=4(x+1)^2-6$ . Quelle propriété décrit son extremum ?

Elle atteint son minimum

-6

en

x=-1

.

Elle atteint son maximum

-6

en

x=-1

.

Elle atteint son minimum

-6

en

x=1

.

Elle atteint son maximum

-6

en

x=1

.

Explication

Comme le coefficient du carré est positif, la parabole est tournée vers le haut et atteint son minimum à l’abscisse du sommet, $x=-1$ ; la valeur minimale est $-6$ . Un coefficient négatif correspondrait à un maximum, tandis que l’abscisse du sommet est donnée par $x+1=0$ .

Answer

Elle atteint son minimum $$-6$$ en $$x=-1$$.

Question 5

5. Pour le trinôme $f(x)=3x^2-2x-1$ , quelle expression donne son discriminant ?

(-2)^2-3\times(-1)=7

(-2)^2+4\times3\times(-1)=-8

(-2)^2-4\times3\times(-1)=16

(-1)^2-4\times3\times(-2)=25

Explication

Le discriminant se calcule par $\Delta=b^2-4ac$ ; ici $\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-1)=16$ . L’oubli du facteur 4 donne 7, le signe erroné devant le produit donne -8, et le carré de c avec les autres coefficients donne 25.

Answer

$$(-2)^2-4\times3\times(-1)=16$$

Question 6

6. Une équation du second degré a un discriminant égal à $-5$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

Une solution réelle double

Deux solutions réelles distinctes

Aucune solution réelle

Une solution réelle et une solution complexe

Explication

Quand $\Delta<0$ , l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une racine double correspond à $\Delta=0$ , tandis que deux racines réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$ .

Answer

Aucune solution réelle

Question 7

7. Pour $2x^2-3x-2=0$ , le discriminant est positif. Quelles sont les deux racines réelles distinctes ?

-\frac{1}{2}

et

-2

-\frac{1}{2}

et

2

\frac{1}{2}

et

-2

-1

et

4

Explication

Ici $\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=25$ , donc les racines sont $\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$ et $\frac{3+5}{4}=2$ . Les signes inversés donnent les racines de numérateurs erronés, et omettre la division par $2a$ donne des valeurs quatre fois trop grandes.

Answer

$$-\frac{1}{2}$$ et $$2$$

Question 8

8. Un trinôme a $a=2$ , $b=-8$ et un discriminant nul. Quelle est sa forme factorisée ?

2(x+2)^2

2(x-2)(x+2)

2(x-2)^2

(x-2)^2

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , le trinôme s’écrit $a(x-x_0)^2$ avec $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{4}=2$ . La forme sans carré ne représente pas une racine double, le signe plus donne une racine différente et l’expression sans facteur 2 omet le coefficient directeur.

Answer

$$2(x-2)^2$$

Question 9

9. Le trinôme $x^2-5x+6$ a pour racines distinctes 2 et 3. Quelle est sa factorisation ?

(x-2)(x-3)

(x-2)(x+3)

2(x-2)(x-3)

(x+2)(x+3)

Explication

Avec deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , la factorisation est $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; ici $a=1$ , d’où $(x-2)(x-3)$ . Les facteurs avec des signes plus inversent les racines, un signe mal placé ne conserve qu’une racine, et le facteur 2 modifie le coefficient directeur.

Answer

$$(x-2)(x-3)$$

Question 10

10. Un trinôme a deux racines distinctes $x_1=-2$ et $x_2=3$ , et son coefficient dominant est négatif. Quel est son signe sur les intervalles déterminés par ces racines ?

Négatif sur les deux intervalles extérieurs et entre les racines

Positif sur les deux intervalles extérieurs et entre les racines

Négatif entre les racines et positif à l’extérieur

Positif entre les racines et négatif à l’extérieur

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme est du signe de son coefficient dominant à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles ; ici, il est donc négatif à l’extérieur et positif entre les racines. Inverser les zones confond leur rôle, et les réponses qui donnent le signe positif à l’extérieur négligent le coefficient dominant négatif.

Answer

Positif entre les racines et négatif à l’extérieur

Question 11

11. Un trinôme de coefficient dominant positif a un discriminant nul et une racine double en $x=4$ . Quel signe prend-il sur $\mathbb{R}$ ?

Il est positif à gauche de

4

et négatif à droite

Il est négatif sauf en

x=4

, où il s’annule

Il est positif sauf en

x=4

, où il s’annule

Il reste positif, y compris en

x=4

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme garde le signe de son coefficient dominant sur tout réel, sauf à la racine double où il s’annule ; le coefficient positif implique donc un signe positif hors de $x=4$ . Un changement de signe à la racine double est une confusion avec le cas de deux racines distinctes, le signe négatif inverse celui du coefficient, et le trinôme s’annule bien en sa racine.

Answer

Il est positif sauf en $$x=4$$, où il s’annule

QCM : Polynômes du second degré (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

2. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est la forme canonique obtenue en calculant $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$ ?

3. Une parabole a pour fonction $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelles coordonnées a son sommet $S(\alpha;\beta)$ ?

4. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=4(x+1)^2-6$ . Quelle propriété décrit son extremum ?

5. Pour le trinôme $f(x)=3x^2-2x-1$ , quelle expression donne son discriminant ?

6. Une équation du second degré a un discriminant égal à $-5$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

7. Pour $2x^2-3x-2=0$ , le discriminant est positif. Quelles sont les deux racines réelles distinctes ?

8. Un trinôme a $a=2$ , $b=-8$ et un discriminant nul. Quelle est sa forme factorisée ?

9. Le trinôme $x^2-5x+6$ a pour racines distinctes 2 et 3. Quelle est sa factorisation ?

10. Un trinôme a deux racines distinctes $x_1=-2$ et $x_2=3$ , et son coefficient dominant est négatif. Quel est son signe sur les intervalles déterminés par ces racines ?

11. Un trinôme de coefficient dominant positif a un discriminant nul et une racine double en $x=4$ . Quel signe prend-il sur $\mathbb{R}$ ?

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Polynômes du second degré

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QCM : Polynômes du second degré (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sur R\mathbb{R}R ?

2. Pour f(x)=2x2−8x+3f(x)=2x^2-8x+3f(x)=2x2−8x+3, quelle est la forme canonique obtenue en calculant α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}α=−2ab​ puis β=f(α)\beta=f(\alpha)β=f(α) ?

3. Une parabole a pour fonction f(x)=3x2−12x+7f(x)=3x^2-12x+7f(x)=3x2−12x+7. Quelles coordonnées a son sommet S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β) ?

4. Une fonction est donnée sous la forme f(x)=4(x+1)2−6f(x)=4(x+1)^2-6f(x)=4(x+1)2−6. Quelle propriété décrit son extremum ?

5. Pour le trinôme f(x)=3x2−2x−1f(x)=3x^2-2x-1f(x)=3x2−2x−1, quelle expression donne son discriminant ?

6. Une équation du second degré a un discriminant égal à −5-5−5. Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

7. Pour 2x2−3x−2=02x^2-3x-2=02x2−3x−2=0, le discriminant est positif. Quelles sont les deux racines réelles distinctes ?

8. Un trinôme a a=2a=2a=2, b=−8b=-8b=−8 et un discriminant nul. Quelle est sa forme factorisée ?

9. Le trinôme x2−5x+6x^2-5x+6x2−5x+6 a pour racines distinctes 2 et 3. Quelle est sa factorisation ?

10. Un trinôme a deux racines distinctes x1=−2x_1=-2x1​=−2 et x2=3x_2=3x2​=3, et son coefficient dominant est négatif. Quel est son signe sur les intervalles déterminés par ces racines ?

11. Un trinôme de coefficient dominant positif a un discriminant nul et une racine double en x=4x=4x=4. Quel signe prend-il sur R\mathbb{R}R ?

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1. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

2. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est la forme canonique obtenue en calculant $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$ ?

3. Une parabole a pour fonction $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelles coordonnées a son sommet $S(\alpha;\beta)$ ?

4. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=4(x+1)^2-6$ . Quelle propriété décrit son extremum ?

5. Pour le trinôme $f(x)=3x^2-2x-1$ , quelle expression donne son discriminant ?

6. Une équation du second degré a un discriminant égal à $-5$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

7. Pour $2x^2-3x-2=0$ , le discriminant est positif. Quelles sont les deux racines réelles distinctes ?

8. Un trinôme a $a=2$ , $b=-8$ et un discriminant nul. Quelle est sa forme factorisée ?

9. Le trinôme $x^2-5x+6$ a pour racines distinctes 2 et 3. Quelle est sa factorisation ?

10. Un trinôme a deux racines distinctes $x_1=-2$ et $x_2=3$ , et son coefficient dominant est négatif. Quel est son signe sur les intervalles déterminés par ces racines ?

11. Un trinôme de coefficient dominant positif a un discriminant nul et une racine double en $x=4$ . Quel signe prend-il sur $\mathbb{R}$ ?