Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des fonctions
2. Images, antécédents et domaine
3. Expression algébrique et calculs
4. Représentation graphique
5. Taux de variation et variations
6. Tableaux de variations et de signes

📖 1. Définition et notation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Objet mathématique qui relie deux grandeurs et qui, lorsqu’on lui donne un nombre, lui associe au plus un nombre.
• Notation fonctionnelle : La notation $f:x\mapsto f(x)$ signifie que la fonction f associe le nombre f(x) au nombre x.

📝 Points essentiels

• Pour un rectangle de côtés AB = 5 cm et BC = x cm, le périmètre est donné par $P(x)=10+2x$.

💡 Astuce mémo

Une boîte noire reçoit x et renvoie au plus une image f(x).

📖 2. Images, antécédents et domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Pour une fonction f, f(x)
• Antécédent : Pour une fonction f,
• Ensemble de définition : Ensemble des valeurs de x qui ont une image par f.

★ À maîtriser

📌 Un nombre possède au plus une image par une fonction, tandis qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou n’en avoir aucun.

Compléments

• Pour la fonction donnant le périmètre du rectangle, x est une longueur positive ou nulle, donc l’ensemble de définition est $[0;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Un x possède au plus une image, tandis qu’une image peut avoir plusieurs antécédents.

📖 3. Expression algébrique et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression algébrique : Une expression algébrique peut contenir des nombres, des lettres représentant des nombres, des parenthèses, des opérations, des fractions et des puissances.

📝 Points essentiels

• Pour deux carrés de côtés 3 cm et x cm, l’aire hachurée est donnée par $h(x)=3^2-x^2$ et son ensemble de définition est $[0;3]$.

• Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée algébriquement, on remplace la variable x par ce nombre dans l’expression de la fonction.

• Pour calculer les antécédents d’un nombre a par une fonction f, on résout l’équation f(x)=a en ne conservant que les solutions appartenant à l’ensemble de définition.

💡 Astuce mémo

Remplacer pour l’image, résoudre pour l’antécédent.

📖 4. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$.

📝 Points essentiels

📌 Sur une représentation graphique de fonction, les valeurs de x se lisent sur l’axe des abscisses et les valeurs de f(x) sur l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

x se lit sur l’axe des abscisses, f(x) sur celui des ordonnées.

📖 5. Taux de variation et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations d’une fonction : Préciser sur quels intervalles elle est croissante, décroissante ou constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux de variation entre x_1 et x_2 est $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

📌 Si le taux de variation est positif pour tous les réels distincts x_1 et x_2 d’un intervalle I, alors f est croissante sur I.

📌 Si le taux de variation est négatif pour tous les réels distincts x_1 et x_2 d’un intervalle I, alors f est décroissante sur I.

Compléments

📌 Le taux de variation entre deux points de la courbe est le coefficient directeur de la droite passant par ces deux points.

💡 Astuce mémo

Taux positif → fonction croissante ; taux négatif → fonction décroissante.

📖 6. Tableaux de variations et de signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Tableau qui regroupe les informations concernant les variations de cette fonction.
• Tableau de signes : Donne le signe de la fonction f, c’est-à-dire sa position par rapport à l’axe des abscisses.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations et lectures d’une fonction