Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Modéliser une situation par fonction
2. Définition et vocabulaire des fonctions
3. Représentations d’une fonction
4. Résolutions graphiques
5. Variations et extrema
6. Taux de variation et monotonie

📖 1. Modéliser une situation par fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation fonctionnelle : Description d’une situation dans laquelle deux grandeurs dépendantes sont liées par une fonction.

📝 Points essentiels

• Pour un restaurateur vendant des menus à 15 € et limité à 60 menus par jour, le gain y en fonction du nombre x de clients est y = 15x, avec x entier naturel appartenant à [0 ; 60].

• Pour modéliser le nombre mensuel d’inscriptions à un jeu vidéo, un nuage de points peut être approché par la droite d’équation y = 3x + 32.

💡 Astuce mémo

Grandeurs liées → modèle fonctionnel

📖 2. Définition et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Association à chaque réel x appartenant à D d’un unique nombre réel noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
• Image : Le réel f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

📝 Points essentiels

📌 Un réel x ne peut avoir qu’une seule image par une fonction, mais plusieurs réels peuvent avoir la même image, comme 2 et −2 qui ont tous deux pour image 4 par la fonction carrée.

💡 Astuce mémo

Un x → une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents

📖 3. Représentations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points M(x ; y) tels que x appartient à D et y = f(x).
• Tableau de valeurs : Ensemble des résultats de plusieurs calculs d’images d’une fonction.

★ À maîtriser

📌 Une courbe représente une fonction si chaque abscisse autorisée correspond à une unique ordonnée.

Compléments

• Dans le tableau donné, l’image de 2 par f est 1 et les antécédents de 1 sont 0 et 2.

📖 4. Résolutions graphiques

📝 Points essentiels

• Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe de f dont l’ordonnée vaut k.

• Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses.

• Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes de f et de g.

• Les solutions de f(x) ≥ k sont les abscisses des points de la courbe de f dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k.

💡 Astuce mémo

Égalité → intersections ; inégalité → position au-dessus ou au-dessous

📖 5. Variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Plus grande valeur prise par f sur un intervalle.
• Minimum : Plus petite valeur prise par f sur un intervalle.
• Fonction croissante : Fonction telle que, pour tous a et b de I, a ≤ b implique f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : Fonction telle que, pour tous a et b de I, a ≤ b implique f(a) ≥ f(b).

💡 Astuce mémo

Monter → maximum → descendre → minimum

📖 6. Taux de variation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et b est la pente de la sécante à la courbe passant par les points d’abscisses a et b, donnée par $\tau(a;b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

★ À maîtriser

• Pour calculer graphiquement un taux de variation, on repère a et b sur l’axe des abscisses, on lit les ordonnées des points correspondants, puis on calcule ou lit le coefficient directeur de la sécante.

📌 Si le taux de variation est positif ou nul pour tous les couples de points distincts d’un intervalle, la fonction y est croissante ; s’il est négatif ou nul, elle y est décroissante ; s’il est toujours nul, elle est constante.

Compléments

• La vitesse moyenne entre deux instants t1 et t2 est le taux de variation de la distance parcourue : $v=\frac{d(t_2)-d(t_1)}{t_2-t_1}$.

💡 Astuce mémo

Taux positif → croissante ; taux négatif → décroissante ; taux nul → constante

📊 Tableaux de synthèse

Résolutions graphiques