Fiche de révision : Généralités sur les suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Modes de génération des suites
3. Suites et algorithmes informatiques
4. Sens de variation des suites
5. Variation des suites explicites
6. Limites finies et convergence
7. Limites infinies et divergence

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels, que l’on peut associer à une fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ et à valeurs dans ℝ.
• Terme de rang n : Pour tout entier naturel n, l’image u(n), notée uₙ, est le terme de rang n ou terme général de la suite.

★ À maîtriser

• La suite numérique se représente graphiquement par le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ).

Compléments

• Dans la suite donnée par les termes −3 ; −2,5 ; −1 ; 1,5 ; −5 ; −9,5 ; 15 ; 21,5 ; 29, le terme de rang 0 vaut −3 et le terme de rang 6 vaut 15.

📖 2. Modes de génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Une suite est définie lorsque chaque terme est exprimé en fonction de n, ce qui permet de le calculer directement à partir de son rang.

★ À maîtriser

📌 Pour uₙ = n² − 5n, uₙ + 1 = n² − 5n + 1, tandis que uₙ₊₁ = (n + 1)² − 5(n + 1) = n² − 3n − 4.

Compléments

• Lorsque uₙ = f(n), les points du nuage représentant la suite appartiennent à la courbe représentative de f.

• Pour représenter les premiers termes d’une suite explicite uₙ = f(n), on place les points (n ; f(n)) pour les rangs successifs considérés.

💡 Astuce mémo

La forme explicite donne un terme directement ; la récurrence repart du terme précédent.

📖 3. Suites et algorithmes informatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une suite définie par récurrence est donnée par son premier terme et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme d’une suite définie par récurrence, il faut avoir calculé tous les termes qui le précèdent.

Compléments

• Pour u₀ = 5 et uₙ₊₁ = 3uₙ, les premiers termes sont u₁ = 15 et u₂ = 45.

• Pour v₀ = 3 et vₙ₊₁ = 4vₙ − 6, on obtient v₁ = 6 et v₂ = 18.

📖 4. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante à partir du rang p si, pour tout n ≥ p, uₙ₊₁ ≥ uₙ, ou de manière équivalente si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante à partir du rang p si, pour tout n ≥ p, uₙ₊₁ ≤ uₙ, ou de manière équivalente si uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0.
• Suite constante : Une suite est constante à partir du rang p si, pour tout n ≥ p, uₙ₊₁ = uₙ.

★ À maîtriser

• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut calculer le signe de la différence uₙ₊₁ − uₙ.

Compléments

• Si v₀ = −2 et vₙ₊₁ = vₙ − n², alors vₙ₊₁ − vₙ = −n² ≤ 0 et la suite est décroissante.

📖 5. Variation des suites explicites

★ À maîtriser

📌 Si uₙ = f(n) et si f est croissante sur [p ; +∞[, alors la suite (uₙ) est croissante à partir du rang p.

📌 Si uₙ = f(n) et si f est décroissante sur [p ; +∞[, alors la suite (uₙ) est décroissante à partir du rang p.

Compléments

• La réciproque de la propriété reliant la monotonie de f à celle de la suite uₙ = f(n) est fausse.

• Pour uₙ = −5n + 4, la fonction affine associée a un coefficient directeur −5 et la suite est décroissante.

• Pour uₙ = 3(n − 5)² − 4, la fonction associée est croissante sur [5 ; +∞[, donc la suite est croissante à partir du rang 5.

📖 6. Limites finies et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite converge lorsqu’elle admet une limite finie.

📝 Points essentiels

• La suite définie par uₙ = 1/n pour n ≥ 1 admet pour limite 0 lorsque n tend vers +∞.

📖 7. Limites infinies et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite divergente : Une suite est divergente si elle admet une limite infinie ou si elle n’admet pas de limite.
• Limite infinie : Une suite admet une limite infinie lorsque ses termes tendent vers +∞ ou −∞.

📝 Points essentiels

• La suite définie par uₙ = (−1)ⁿ n’admet pas de limite.

💡 Astuce mémo

Une limite infinie est une limite ; une suite sans limite ne converge pas non plus.