QCM : Généralités sur les suites numériques (15 questions)

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels et peut être associée à une fonction définie sur ℕ, ou une partie de ℕ, à valeurs dans ℝ. L’ensemble non ordonné néglige l’ordre, les entiers restreignent à tort les termes, et les domaines ℝ ou les valeurs naturelles ne correspondent pas à la définition.

Explication

La représentation graphique d’une suite est le nuage des points dont les coordonnées sont le rang et le terme correspondant, soit (n ; uₙ). Inverser les coordonnées échange rang et valeur, (n ; 0) ignore les termes, et la différence entre termes représente autre chose.

Explication

Dans une forme explicite, le rang est substitué directement à n : pour le rang 5, on calcule 3 × 5 − 2. Utiliser 4 décale le rang, ajouter 5 modifie la formule et passer par le terme précédent n’est pas le calcul direct demandé.

Explication

Pour obtenir uₙ₊₁, on remplace n par n + 1 : (n + 1)² − 5(n + 1) = n² − 3n − 4. L’expression n² − 5n + 1 correspond à uₙ + 1, tandis que remplacer par n − 1 ou mal développer le carré donne une autre expression.

Explication

Une suite définie par récurrence est spécifiée par son premier terme et une relation reliant chaque terme au précédent. Une formule explicite utilise directement le rang, une liste n’énonce pas la relation de récurrence et un terme final ne remplace pas le terme initial.

Explication

Chaque terme récurrent dépend du terme précédent : il faut donc calculer tous les termes qui précèdent celui de rang 6. Le calcul direct confond récurrence et forme explicite, le calcul à rebours inverse le processus, et les termes intermédiaires ne peuvent pas être omis.

Explication

Une différence $u_{n+1}-u_n$ positive ou nulle signifie que chaque terme est supérieur ou égal au précédent : la suite est croissante à partir du rang 4. La décroissance correspond à une différence négative ou nulle, la croissance n’exige pas une différence strictement positive, et la valeur de $u_4$ n’est pas nécessaire pour conclure.

Explication

Le signe de la différence entre deux termes consécutifs permet de déterminer si la suite augmente ou diminue. Le signe de $u_n$ renseigne sur les valeurs des termes, tandis que la comparaison avec $u_{n+2}$ ou leur quotient n’est pas la méthode énoncée ici.

Explication

On a $v_{n+1}-v_n=-n^2$, qui est inférieur ou égal à zéro pour tout entier naturel $n$ ; la suite est donc décroissante. La croissance contredit le signe de la différence, le terme initial ne suffit pas à déterminer la variation, et le carré reste précédé du signe moins.

Explication

La croissance de $f$ sur $[4;+[$ entraîne celle de $u_n=f(n)$ à partir du rang 4. La décroissance inverse le sens, la constance n’est pas impliquée et l’absence de monotonie méconnaît la propriété.

Explication

Une fonction décroissante sur l’intervalle considéré induit une suite décroissante à partir du rang correspondant. La croissance inverse le sens, la constance n’est pas déduite et le rang 0 dépasse la portée de l’hypothèse.

Explication

Une suite converge si elle admet une limite finie, qui peut être différente de zéro. La monotonie n’est pas la définition, une limite infinie n’est pas finie et zéro n’est pas la seule limite possible.

Explication

Lorsque $n$ grandit, $\frac{1}{n}$ se rapproche de zéro : la limite de la suite est donc $0$. La valeur $1$ correspond au premier terme, tandis que la suite ne croît pas vers l’infini et son dénominateur n’est pas sa limite.

Explication

Une suite est divergente si elle admet une limite infinie ou si elle n’admet pas de limite ; ici, elle tend vers $+\infty$. « Convergente » suppose une limite finie, tandis que « sans limite » ne décrit pas ce cas et que la monotonie ne suffit pas à définir la divergence.

Explication

Les termes alternent entre deux valeurs distinctes et ne se rapprochent donc d’aucune limite. Le fait d’être bornée ne garantit pas une limite finie, l’alternance n’est pas une tendance vers l’infini et la moyenne des termes ne détermine pas la limite de la suite.