Fiche de révision : Géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Positions relatives dans l’espace
2. Vecteurs et opérations vectorielles
3. Combinaisons et indépendance vectorielles
4. Droites et plans vectoriels
5. Coplanarité des vecteurs
6. Bases et coordonnées vectorielles
7. Repérage et calculs dans l’espace

📖 1. Positions relatives dans l’espace

📝 Points essentiels

• Par deux points distincts de l’espace passe une unique droite, et par trois points non alignés passe un unique plan.

• Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, auquel cas elles sont sécantes, parallèles ou confondues, soit non coplanaires.

• Une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles, soit confondus lorsque la droite est contenue dans le plan.

• Deux plans de l’espace sont soit strictement parallèles, soit confondus, soit sécants selon une droite.

💡 Astuce mémo

Coplanaires ou non coplanaires pour deux droites ; sécants ou parallèles pour droite-plan et plan-plan.

📖 2. Vecteurs et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Caractérisé par une direction, un sens et une norme, cette dernière étant la longueur du segment représenté.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si la même translation transforme simultanément leurs extrémités, ce qui équivaut à ce que le quadrilatère formé soit un parallélogramme, éventuellement aplati.

📐 Formule - La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Compléments

📌 Pour un réel non nul k et un vecteur non nul u, le vecteur ku a la même direction que u, le même sens si k>0 et le sens contraire si k<0, avec une norme égale à |k| fois celle de u.

💡 Astuce mémo

Un vecteur se visualise comme une flèche : direction, sens et longueur.

📖 3. Combinaisons et indépendance vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que $v=ku$; par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
• Combinaison linéaire : Le vecteur u est une combinaison linéaire des vecteurs v et w s’il existe des réels x et y tels que $u=xv+yw$.
• Vecteurs indépendants : Trois vecteurs sont linéairement indépendants s’il n’est pas possible d’exprimer l’un comme combinaison linéaire des deux autres.

📝 Points essentiels

• Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, si I est le milieu de [HE], alors $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\frac12\overrightarrow{AD}$.

📖 4. Droites et plans vectoriels

★ À maîtriser

• Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$.

• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Si A, B et C sont trois points non alignés, un point M appartient au plan (ABC) si et seulement s’il existe des réels x et y tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Les points A, B et C sont non alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

💡 Astuce mémo

Une droite utilise un vecteur directeur ; un plan utilise deux vecteurs directeurs non colinéaires.

📖 5. Coplanarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs non nuls sont coplanaires si leurs représentants de même origine ont leurs extrémités dans un même plan.

★ À maîtriser

📌 Si u et v ne sont pas colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels x et y tels que $w=xu+yv$.

Compléments

📌 Deux vecteurs sont toujours coplanaires, contrairement à deux droites qui peuvent être non coplanaires.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs non colinéaires engendrent un plan ; une combinaison d’eux caractérise la coplanarité.

📖 6. Bases et coordonnées vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est un quadruplet (O;i,j,k) formé d’une origine O et d’une base de vecteurs (i,j,k).

📝 Points essentiels

📌 Dans une base de l’espace (i,j,k), tout vecteur u s’écrit de manière unique sous la forme $u=xi+yj+zk$.

• Si u=(x;y;z) et v=(x';y';z') dans une base, alors u+v=(x+x';y+y';z+z') et ku=(kx;ky;kz).

💡 Astuce mémo

Base : trois vecteurs non coplanaires → coordonnées uniques.

📖 7. Repérage et calculs dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point M dans le repère (O;i,j,k) sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$, où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B), on a $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule - Le milieu de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

• Pour démontrer que quatre points A, B, C et D sont coplanaires, on calcule les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$, puis on cherche x et y tels que $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ et on vérifie les trois égalités obtenues.

Compléments

• Pour A(2;−1;4), B(6;−7;0), C(1;0;1) et D(13;−16;5), on obtient $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, donc les points A, B, C et D sont coplanaires.