Flashcards : Géométrie de l’espace et repérages (25 cartes)

Toutes les cartes

1Question

Comment définit-on un repère cartésien de l’espace ?

Réponse

Par le quadruplet (O,i⃗,j⃗,k⃗) (O,\vec i,\vec j,\vec k) , où OO est l’origine et (i⃗,j⃗,k⃗) (\vec i,\vec j,\vec k) sa base.

2Question

Comment les coordonnées de MM définissent-elles OM→\overrightarrow{OM} dans un repère cartésien ?

Réponse

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k.

3Question

Que représente rr dans les coordonnées cylindriques de MM ?

Réponse

La distance de la projection de MM à l’origine.

4Question

Quel angle définit θ\theta dans les coordonnées cylindriques de MM ?

Réponse

L’angle (i⃗,OP→)\left(\vec i,\overrightarrow{OP}\right).

5Question

Que représente zz dans les coordonnées cylindriques de MM ?

Réponse

La cote de MM.

6Question

Comment exprimer xx en coordonnées cylindriques ?

Réponse

x=rcos⁡θx=r\cos\theta.

7Question

Comment exprimer yy en coordonnées cylindriques ?

Réponse

y=rsin⁡θy=r\sin\theta.

8Question

Comment exprimer zz en coordonnées cartésiennes cylindriques ?

Réponse

z=zz=z.

9Question

Que désignent les coordonnées sphériques d’un point M ?

Réponse

Le triplet (r,φ,θ)(r,\varphi,\theta).

10Question

Que représente r dans les coordonnées sphériques de M ?

Réponse

La norme ∥OM→∥\|\overrightarrow{OM}\|.

11Question

Comment définit-on la colatitude φ\varphi de M ?

Réponse

C’est l’angle entre k⃗\vec k et OM→\overrightarrow{OM}, compris entre 0 et π\pi.

12Question

Comment définit-on la longitude θ\theta de M ?

Réponse

C’est l’angle entre i⃗\vec i et la projection de OM→\overrightarrow{OM} sur le plan horizontal.

13Question

Quelle est l’expression cartésienne de x en coordonnées sphériques ?

Réponse

x=rsin⁡φcos⁡θx=r\sin\varphi\cos\theta.

14Question

Quelle est l’expression cartésienne de y en coordonnées sphériques ?

Réponse

y=rsin⁡φsin⁡θy=r\sin\varphi\sin\theta.

15Question

Quelle est l’expression cartésienne de z en coordonnées sphériques ?

Réponse

z=rcos⁡φz=r\cos\varphi.

16Question

Quelle est l’expression du déplacement élémentaire en coordonnées sphériques ?

Réponse

dOM→=dr e⃗r+r dφ e⃗φ+rsin⁡φ dθ e⃗θd\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\varphi\,\vec e_\varphi+r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\theta

17Question

À quoi sert le produit vectoriel pour deux vecteurs ?

Réponse

À déterminer leur perpendicularité.

18Question

Quelle grandeur géométrique le produit vectoriel permet-il de calculer ?

Réponse

La surface définie par les deux vecteurs.

19Question

Quand un repère est-il orthogonal ?

Réponse

Lorsque sa base est orthogonale.

20Question

Quand un repère est-il orthonormal ?

Réponse

Lorsque sa base est orthonormale.

21Question

Quelles sont les coordonnées de αu⃗+βv⃗\alpha\vec u+\beta\vec v pour u⃗=(x,y,z)\vec u=(x,y,z) et v⃗=(x′,y′,z′)\vec v=(x',y',z') ?

Réponse

(αx+βx′,αy+βy′,αz+βz′)(\alpha x+\beta x',\alpha y+\beta y',\alpha z+\beta z').

22Question

Quelle formule donne la norme de u⃗=(x,y,z)\vec u=(x,y,z) ?

Réponse

∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

23Question

Quelle est l’expression du déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques ?

Réponse

dOM→=dr e⃗r+r dθ e⃗θ+dz k⃗d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+dz\,\vec k.

24Question

Quelle orientation ont les vecteurs sphériques (e⃗r,e⃗φ,e⃗θ)(\vec e_r,\vec e_\varphi,\vec e_\theta) ?

Réponse

Ils forment un trièdre direct.

25Question

Comment s’écrit le vecteur unitaire radial en coordonnées sphériques ?

Réponse

e⃗r=sin⁡φcos⁡θ i⃗+sin⁡φsin⁡θ j⃗+cos⁡φ k⃗\vec e_r=\sin\varphi\cos\theta\,\vec i+\sin\varphi\sin\theta\,\vec j+\cos\varphi\,\vec k

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 8 questions sur Géométrie de l’espace et repérages.

1. Dans un espace, quel ensemble de données constitue un repère cartésien ?

2. Dans un repère cartésien, un point M a pour coordonnées (−2, 4, 1). Quelle égalité exprime son vecteur position ?

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