Fiche de révision : Géométrie de l’espace et repérages

📋 Plan du Cours

1. Repères cartésiens et coordonnées vectorielles
2. Coordonnées cylindriques et déplacement
3. Coordonnées sphériques et angles
4. Déplacements élémentaires sphériques
5. Rôle du produit vectoriel

📖 1. Repères cartésiens et coordonnées vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Un repère cartésien de l’espace est le quadruplet $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, où $O$ est l’origine et $(\vec i,\vec j,\vec k)$ la base du repère.

★ À maîtriser

• Dans un repère cartésien, les coordonnées $(x,y,z)$ d’un point $M$ sont définies par $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$.

Compléments

📌 Un repère est orthogonal lorsque sa base est orthogonale, tandis qu’il est orthonormal lorsque sa base est orthonormale.

📐 Formule - Pour deux vecteurs de coordonnées $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$, les coordonnées de leur combinaison linéaire sont $\alpha\vec u+\beta\vec v=(\alpha x+\beta x',\alpha y+\beta y',\alpha z+\beta z')$.

📐 Formule - La norme d’un vecteur de coordonnées $(x,y,z)$ est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📖 2. Coordonnées cylindriques et déplacement

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques d’un point $M$ sont $(r,\theta,z)$, où $r=|OP|$ est la distance de sa projection $P$ à l’origine, $\theta$ est l’angle de $(\vec i,\overrightarrow{OP})$ et $z$ est la cote de $M$.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, les coordonnées cartésiennes vérifient $x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, le déplacement élémentaire est $d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+dz\,\vec k$.

📖 3. Coordonnées sphériques et angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques d’un point $M$ sont $(r,\varphi,\theta)$, où $r=\|\overrightarrow{OM}\|$, $\varphi$ est la colatitude entre $\vec k$ et $\overrightarrow{OM}$ avec $0\leq\varphi\leq\pi$, et $\theta$ est la longitude entre $\vec i$ et la projection de $\overrightarrow{OM}$ sur le plan horizontal.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées cartésiennes associées aux coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ sont $x=r\sin\varphi\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta,\quad z=r\cos\varphi$.

Compléments

• En coordonnées sphériques, les vecteurs $(\vec e_r,\vec e_\varphi,\vec e_\theta)$ forment un trièdre direct.

📖 4. Déplacements élémentaires sphériques

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le déplacement élémentaire est $d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\varphi\,\vec e_\varphi+r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\theta$.

Compléments

• Le vecteur unitaire radial sphérique s’écrit $\vec e_r=\sin\varphi\cos\theta\,\vec i+\sin\varphi\sin\theta\,\vec j+\cos\varphi\,\vec k$.

📖 5. Rôle du produit vectoriel

📝 Points essentiels

• Le produit vectoriel permet de déterminer la perpendicularité de deux vecteurs et de calculer la surface définie par ces deux vecteurs.