Fiche de révision : Proportions et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportionnalité et coefficients
2. Taux d’évolution et valeurs
3. Pourcentages et coefficients multiplicateurs
4. Évolution réciproque
5. Populations et proportions composées

📖 1. Proportionnalité et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque y est proportionnel à x, $y = k \times x$, où k est le coefficient de proportionnalité.

Compléments

📐 Formule - Si a et b sont proportionnels, alors $\frac{b}{a}=k$, $b=k \times a$ et $a=\frac{b}{k}$.

📌 Dans un tableau de proportionnalité, le quotient de deux valeurs correspondantes est constant : $\frac{y}{x}=k$ pour $x \ne 0$.

📖 2. Taux d’évolution et valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Le taux d’évolution compare une valeur finale Vf à une valeur initiale Vi et se calcule par $t=\frac{Vf-Vi}{Vi}$, avec $Vi \ne 0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur finale se calcule à partir de la valeur initiale par $Vf=Vi \times (1+t)$.

📌 Si le taux d’évolution t est positif, l’évolution est une augmentation ; si t est négatif, elle est une diminution.

Compléments

📐 Formule - La valeur initiale se retrouve à partir de la valeur finale par $Vi=\frac{Vf}{1+t}$.

📌 La valeur initiale est la valeur au début de l’évolution, tandis que la valeur finale est celle qui est obtenue après l’évolution.

📖 3. Pourcentages et coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion sur 100 : $p\%=\frac{p}{100}$.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur permet de passer d’une valeur à une autre après une évolution et vérifie $CM=1+t$, où t est exprimé en décimal.

★ À maîtriser

📐 Formule - Après une augmentation de p %, la valeur finale est $Vf=Vi \times (1+\frac{p}{100})$.

📐 Formule - Après une diminution de p %, la valeur finale est $Vf=Vi \times (1-\frac{p}{100})$.

Compléments

📐 Formule - Après une évolution de coefficient multiplicateur CM, la valeur finale se calcule par $Vf=Vi \times CM$.

📐 Formule - Le taux d’évolution et le coefficient multiplicateur sont liés par $CM=1+t$ et $t=CM-1$.

📐 Formule - Calculer t % d’une quantité Q revient à multiplier Q par $\frac{t}{100}$.

💡 Astuce mémo

Augmentation : facteur supérieur à 1 ; diminution : facteur inférieur à 1.

📖 4. Évolution réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution réciproque : Le taux d’évolution réciproque permet de revenir de la valeur finale à la valeur initiale après l’évolution initiale.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient multiplicateur réciproque est l’inverse du coefficient initial : $CM'=\frac{1}{CM}$.

Compléments

📐 Formule - Le taux d’évolution réciproque se calcule par $t'=CM'-1$.

📐 Formule - Si une valeur augmente de t, la valeur de départ se calcule par $Vi=\frac{Vf}{1+t}$.

📐 Formule - Si une valeur diminue de t, la valeur de départ se calcule par $Vi=\frac{Vf}{1-t}$.

📖 5. Populations et proportions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion d’une sous-population : Pour une population E de N individus et une sous-population A de n individus, la proportion de A dans E est $p=\frac{n}{N}$.
• Population : Une population est un ensemble d’éléments appelés individus, par exemple des personnes ou des objets.
• Sous-population : Une sous-population est une partie d’une population ; si A est une sous-population de E, on note $A \subset E$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si B est une sous-population de A et A une sous-population de E, la proportion p de B dans E est le produit de la proportion p₁ de B dans A et de la proportion p₂ de A dans E : $p=p_1 \times p_2$.

Compléments

• Une proportion peut s’exprimer sous forme de fraction, en écriture décimale ou en pourcentage.

• Une proportion égale à $\frac{9}{40}$ s’écrit aussi 0,225 ou 22,5 %.