QCM : Géométrie de l’espace et repérages (8 questions)

Question 1

1. Dans un espace, quel ensemble de données constitue un repère cartésien ?

Trois points et une base de deux vecteurs

Un point origine et un vecteur directeur

Un point origine et une base de trois vecteurs

Un point origine et deux axes de coordonnées

Explication

Un repère cartésien de l’espace est constitué d’une origine et d’une base de trois vecteurs. Un seul vecteur directeur, trois points ou deux axes ne fournissent pas ces données.

Answer

Un point origine et une base de trois vecteurs

Question 2

2. Dans un repère cartésien, un point M a pour coordonnées (−2, 4, 1). Quelle égalité exprime son vecteur position ?

\overrightarrow{OM}=-2\vec i+4\vec j

\overrightarrow{OM}=-2\vec i+4\vec j+\vec k

\overrightarrow{OM}=-2\vec i+\vec j+4\vec k

\overrightarrow{OM}=2\vec i+4\vec j+\vec k

Explication

Les coordonnées (x,y,z) donnent $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ; ici, les coefficients sont −2, 4 et 1. L’inversion de y et z échange leurs coefficients, le signe positif de x contredit la coordonnée négative, et l’expression sans $\vec k$ oublie la troisième composante.

Answer

$$\overrightarrow{OM}=-2\vec i+4\vec j+\vec k$$

Question 3

3. Un point M a des coordonnées cylindriques (r, θ, z). Que représente r dans cette description ?

La hauteur de M au-dessus du plan horizontal

La distance directe de M à l’origine

La distance de la projection de M à l’origine

L’angle entre l’axe des abscisses et la projection

Explication

En coordonnées cylindriques, r est la distance entre l’origine et la projection de M sur le plan horizontal. La cote décrit la hauteur, θ est l’angle, et la distance directe OM inclut également la hauteur.

Answer

La distance de la projection de M à l’origine

Question 4

4. Un point a pour coordonnées cylindriques $\left(4,\frac{\pi}{6},-3\right)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

(\sqrt{3},1,-3)

(2\sqrt{3},2,4)

(2\sqrt{3},2,-3)

(2,2\sqrt{3},-3)

Explication

On utilise $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ : ainsi, $x=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ et $y=4\cdot\frac{1}{2}=2$ , tandis que z reste −3. L’échange des fonctions inverse x et y, l’oubli de r réduit les valeurs horizontales, et remplacer z par r confond cote et rayon.

Answer

$$(2\sqrt{3},2,-3)$$

Question 5

5. Pour un point $M$ de coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , quelle grandeur représente $\varphi$ ?

L’angle entre

\overrightarrow{OM}

et sa projection sur le plan horizontal

L’angle entre

\vec i

et la projection de

\overrightarrow{OM}

sur le plan horizontal

L’angle entre

\vec k

et

\overrightarrow{OM}

, compris entre

0

et

\pi

La distance entre

O

et

M

Explication

La colatitude $\varphi$ est l’angle entre $\vec k$ et $\overrightarrow{OM}$ et appartient à $[0,\pi]$ . La longitude correspond à la direction de la projection horizontale, tandis que la distance à l’origine est $r$ .

Answer

L’angle entre $$\vec k$$ et $$\overrightarrow{OM}$$, compris entre $$0$$ et $$\pi$$

Question 6

6. Un point a pour coordonnées sphériques $r=4$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

(0,0,4)

(4,0,0)

(0,4,0)

(4,0,4)

Explication

Les relations donnent $x=r\sin\varphi\cos\theta=4$ , $y=r\sin\varphi\sin\theta=0$ et $z=r\cos\varphi=0$ . Le point est donc $(4,0,0)$ . Les réponses qui placent la valeur sur $y$ ou $z$ résultent d’une confusion entre les angles et les coordonnées.

Answer

$$(4,0,0)$$

Question 7

7. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec $dr=0$ , $d\varphi=0$ et $d\theta>0$ . Quelle est l’expression de son déplacement élémentaire ?

d\theta\,\vec e_r

r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\theta

r\,d\theta\,\vec e_\theta

r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\varphi

Explication

Dans la formule du déplacement sphérique, la variation de longitude contribue par $r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\theta$ . L’expression sans $\sin\varphi$ oublie le facteur géométrique, et les autres confondent les directions angulaire et radiale.

Answer

$$r\sin\varphi\,d\theta\,\vec e_\theta$$

Question 8

8. Pour $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ , quelle expression donne le vecteur unitaire radial $\vec e_r$ dans la base cartésienne ?

\vec k

\vec i

\vec j

-\vec k

Explication

En substituant les angles dans $\vec e_r=\sin\varphi\cos\theta\,\vec i+\sin\varphi\sin\theta\,\vec j+\cos\varphi\,\vec k$ , on obtient $\vec e_r=\vec i$ . Les directions $\vec j$ et $\vec k$ correspondent à d’autres orientations, tandis que $-\vec k$ traduit une confusion avec la direction de colatitude.

Answer

$$\vec i$$

QCM : Géométrie de l’espace et repérages (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un espace, quel ensemble de données constitue un repère cartésien ?

2. Dans un repère cartésien, un point M a pour coordonnées (−2, 4, 1). Quelle égalité exprime son vecteur position ?

3. Un point M a des coordonnées cylindriques (r, θ, z). Que représente r dans cette description ?

4. Un point a pour coordonnées cylindriques $\left(4,\frac{\pi}{6},-3\right)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

5. Pour un point $M$ de coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , quelle grandeur représente $\varphi$ ?

6. Un point a pour coordonnées sphériques $r=4$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

7. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec $dr=0$ , $d\varphi=0$ et $d\theta>0$ . Quelle est l’expression de son déplacement élémentaire ?

8. Pour $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ , quelle expression donne le vecteur unitaire radial $\vec e_r$ dans la base cartésienne ?

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Questions et réponses du QCM

1. Dans un espace, quel ensemble de données constitue un repère cartésien ?

2. Dans un repère cartésien, un point M a pour coordonnées (−2, 4, 1). Quelle égalité exprime son vecteur position ?

3. Un point M a des coordonnées cylindriques (r, θ, z). Que représente r dans cette description ?

4. Un point a pour coordonnées cylindriques (4,π6,−3)\left(4,\frac{\pi}{6},-3\right)(4,6π​,−3). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

5. Pour un point MMM de coordonnées sphériques (r,φ,θ)(r,\varphi,\theta)(r,φ,θ), quelle grandeur représente φ\varphiφ ?

6. Un point a pour coordonnées sphériques r=4r=4r=4, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}φ=2π​ et θ=0\theta=0θ=0. Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

7. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec dr=0dr=0dr=0, dφ=0d\varphi=0dφ=0 et dθ>0d\theta>0dθ>0. Quelle est l’expression de son déplacement élémentaire ?

8. Pour φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}φ=2π​ et θ=0\theta=0θ=0, quelle expression donne le vecteur unitaire radial e⃗r\vec e_rer​ dans la base cartésienne ?

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4. Un point a pour coordonnées cylindriques $\left(4,\frac{\pi}{6},-3\right)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

5. Pour un point $M$ de coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , quelle grandeur représente $\varphi$ ?

6. Un point a pour coordonnées sphériques $r=4$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

7. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec $dr=0$ , $d\varphi=0$ et $d\theta>0$ . Quelle est l’expression de son déplacement élémentaire ?

8. Pour $\varphi=\frac{\pi}{2}$ et $\theta=0$ , quelle expression donne le vecteur unitaire radial $\vec e_r$ dans la base cartésienne ?