Fiche de révision : Géométrie repérée

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs directeurs et droites
2. Équations cartésiennes des droites
3. Colinéarité et alignement
4. Déterminer une droite par calcul
5. Équation cartésienne du cercle
6. Intersections et localisation

📖 1. Vecteurs directeurs et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : vecteur non nul dont la direction est celle de la droite

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$, le vecteur $\begin{pmatrix}-b\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.

📌 La donnée d’un point et d’un vecteur directeur non nul définit une unique droite.

Compléments

• Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux à deux, et le vecteur reliant deux points distincts de cette droite en est un.

💡 Astuce mémo

Un vecteur directeur indique une direction, tandis que l’équation décrit tous les points de la droite.

📖 2. Équations cartésiennes des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : équation de la forme $ax+by+c=0$ dont les solutions sont exactement les coordonnées des points de cette droite

★ À maîtriser

• Une équation cartésienne de droite n’est pas unique, car on peut multiplier ses deux membres par un même nombre non nul.

Compléments

• La droite verticale passant par l’abscisse 3 a pour équation $x-3=0$, tandis que la droite horizontale d’ordonnée 2 a pour équation $y-2=0$.

💡 Astuce mémo

Choisir la direction, déterminer a et b, puis utiliser un point pour trouver c.

📖 3. Colinéarité et alignement

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux vecteurs non nuls $\vec u\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant vérifie $xy'-yx'=0$.

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est nul.

Compléments

• Pour A(0;1), B(3;2) et C(9;4), on a $\overrightarrow{AB}=(3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(6;2)$ et le déterminant vaut $3\times2-6\times1=0$, donc les trois points sont alignés.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → vecteurs colinéaires → points alignés.

📖 4. Déterminer une droite par calcul

📝 Points essentiels

• Pour déterminer l’équation cartésienne de la droite passant par deux points, on calcule un vecteur directeur, on forme le vecteur reliant un point connu à un point M(x;y), puis on impose que leur déterminant soit nul.

• La droite passant par A(1;-2) et B(3;4) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}=(2;6)$ et une équation cartésienne est $6x-2y-10=0$, soit encore $3x-y-5=0$.

💡 Astuce mémo

Point directeur, vecteur vers M, déterminant nul, équation.

📖 5. Équation cartésienne du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne du cercle : l’équation cartésienne du cercle de centre Ω(xΩ;yΩ) et de rayon r est $$\left(x-x_Ω\right)^2+\left(y-y_Ω\right)^2=r^2$

★ À maîtriser

📌 Un point M(x;y) appartient à un cercle si et seulement si sa distance au centre Ω est égale au rayon.

Compléments

• Dans un repère où une unité représente 50 mètres, une distance de 250 mètres correspond à 5 unités et, pour une antenne A(2;1), les positions possibles vérifient $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25$.

💡 Astuce mémo

Un cercle est l’ensemble des points M situés à la même distance du centre Ω.

📖 6. Intersections et localisation

★ À maîtriser

• Pour rechercher les positions communes à un cercle et à une droite, on écrit l’équation du cercle, on ajoute l’équation de la droite, puis on résout le système obtenu.

• Pour localiser un habitant à distance égale de deux antennes, on écrit les deux équations de cercle, on les soustrait pour éliminer le terme commun, puis on remplace la valeur obtenue dans l’une des équations.

Compléments

• Pour les antennes A(2;1) et B(4;1), un habitant situé à 100 mètres de chacune vérifie le système $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=100$ et $\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2=100$.

💡 Astuce mémo

Distance imposée → cercle ; contrainte de rue → droite ; solutions → points d’intersection.

📊 Tableaux de synthèse

Objets géométriques et équations