QCM : Géométrie repérée — 13 questions

Question 1

1. Quelle propriété caractérise un vecteur directeur d’une droite ?

C’est un vecteur nul placé sur la droite considérée.

C’est un vecteur non nul ayant la direction de la droite.

C’est un vecteur dont la norme est forcément égale à un.

C’est un vecteur perpendiculaire à la direction de la droite.

Explication

Un vecteur directeur est non nul et possède la même direction que la droite. Le vecteur nul ne définit aucune direction, tandis qu’un vecteur perpendiculaire n’est pas directeur de la droite.

Answer

C’est un vecteur non nul ayant la direction de la droite.

Question 2

2. Pour la droite d’équation $3x-2y+5=0$ , quel vecteur peut servir de vecteur directeur ?

\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}

Explication

Dans une équation $ax+by+c=0$ , un vecteur directeur est $\begin{pmatrix}-b\a\end{pmatrix}$ . Ici, $a=3$ et $b=-2$ , donc on obtient $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ .

Answer

$$\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$$

Question 3

3. Que peut-on conclure lorsqu’un point et un vecteur directeur non nul sont connus ?

Ils définissent deux droites parallèles distinctes.

Ils déterminent une unique droite verticale.

Ils définissent une unique droite.

Ils définissent une famille de droites perpendiculaires.

Explication

Un point associé à un vecteur directeur non nul fixe une direction et un emplacement, ce qui définit une unique droite. La droite n’est pas nécessairement verticale : cela dépend de la direction du vecteur.

Answer

Ils définissent une unique droite.

Question 4

4. Quelle forme possède une équation cartésienne d’une droite ?

y=mx^2+px+q

ax^2+by+c=0

ax+by+c=0

x^2+y^2=r^2

Explication

Une équation cartésienne de droite s’écrit sous la forme $ax+by+c=0$ , et ses solutions correspondent exactement aux coordonnées des points de la droite. Les autres formes décrivent généralement une parabole, un cercle ou une autre courbe.

Answer

$$ax+by+c=0$$

Question 5

5. Pourquoi les équations $2x-4y+6=0$ et $x-2y+3=0$ représentent-elles la même droite ?

Elles décrivent deux droites parallèles ayant nécessairement une intersection.

Elles possèdent des coefficients directeurs opposés mais des constantes égales.

Elles ont la même constante, mais des variables de degrés différents.

La première s’obtient en multipliant la seconde par un nombre non nul.

Explication

Multiplier les deux membres d’une équation cartésienne par un même nombre non nul ne modifie pas l’ensemble de ses solutions. Ici, la première équation est obtenue en multipliant la seconde par $2$ .

Answer

La première s’obtient en multipliant la seconde par un nombre non nul.

Question 6

6. Comment vérifier que les vecteurs $\vec u=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ sont colinéaires ?

Calculer

2\times6-3\times4

et constater que le résultat vaut zéro.

Comparer les deux premières coordonnées et vérifier qu’elles sont égales.

Calculer

2+3+4+6

et constater que le résultat vaut zéro.

Vérifier que le produit

2\times3\times4\times6

est égal à zéro.

Explication

Le déterminant vaut $xy'-yx'=2\times6-3\times4=0$ , ce qui caractérise la colinéarité de deux vecteurs non nuls. Une somme, une égalité de coordonnées ou un produit nul ne constitue pas le critère demandé.

Answer

Calculer $$2\times6-3\times4$$ et constater que le résultat vaut zéro.

Question 7

7. Pour les points A(0;1), B(3;2) et C(9;4), quelle conclusion obtient-on à partir de $\overrightarrow{AB}=(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}=(6;2)$ ?

Les points ne sont pas alignés, car les deux vecteurs ont des longueurs différentes.

Les points sont alignés, car

3\times2-1\times6=0

.

Les points sont alignés, car les deux vecteurs ont des coordonnées toutes positives.

Les points ne sont pas alignés, car leurs abscisses sont toutes différentes.

Explication

Le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ vaut $3\times2-1\times6=0$ , donc les trois points sont alignés. Des longueurs différentes ou des coordonnées positives ne permettent pas de conclure sur l’alignement.

Answer

Les points sont alignés, car $$3\times2-1\times6=0$$.

Question 8

8. Pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite passant par deux points connus, quelle démarche faut-il suivre ?

Déterminer le milieu des deux points, puis écrire une équation de cercle de centre ce milieu

Additionner les coordonnées des deux points, puis utiliser cette somme comme pente de la droite

Calculer un vecteur directeur, former un vecteur vers un point M(x;y), puis annuler leur déterminant

Calculer la distance entre les deux points, puis imposer qu’elle soit égale à zéro

Explication

Le vecteur directeur est obtenu à partir des deux points, puis le vecteur reliant un point connu à M(x;y) doit être colinéaire à ce vecteur, ce qui s’exprime par un déterminant nul. La distance entre les points ne fournit pas directement l’équation cartésienne de la droite.

Answer

Calculer un vecteur directeur, former un vecteur vers un point M(x;y), puis annuler leur déterminant

Question 9

9. Quelle équation représente la droite passant par A(1;-2) et B(3;4) ?

3x+y-5=0

x-3y-5=0

3x-y-5=0

2x-6y-10=0

Explication

Le vecteur directeur est $\overrightarrow{AB}=(2;6)$ , et une équation obtenue par déterminant est $6x-2y-10=0$ , équivalente à $3x-y-5=0$ . L’équation $3x+y-5=0$ ne contient pas les deux points donnés.

Answer

$$3x-y-5=0$$

Question 10

10. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre $\Omega(x_\Omega;y_\Omega)$ et de rayon $r$ ?

\left(x-y_\Omega\right)^2+\left(y-x_\Omega\right)^2=r^2

\left(x-x_\Omega\right)+\left(y-y_\Omega\right)=r^2

\left(x+x_\Omega\right)^2+\left(y+y_\Omega\right)^2=r

\left(x-x_\Omega\right)^2+\left(y-y_\Omega\right)^2=r^2

Explication

L’équation traduit que la distance entre un point M(x;y) et le centre est égale au rayon, après élévation au carré. Les signes doivent être ceux des différences avec les coordonnées du centre, et les deux coordonnées doivent être mises au carré.

Answer

$$\left(x-x_\Omega\right)^2+\left(y-y_\Omega\right)^2=r^2$$

Question 11

11. Quelle condition permet de déterminer si un point M appartient à un cercle de centre Ω et de rayon r ?

Sa distance au centre Ω est égale au carré du rayon r

La somme de ses coordonnées est égale au rayon r

Sa distance au centre Ω est égale au rayon r

Le produit de ses coordonnées est égal à la distance au centre

Explication

Un point appartient au cercle lorsque sa distance au centre est exactement égale au rayon. Le carré du rayon intervient dans l’équation cartésienne, mais la distance elle-même vaut r.

Answer

Sa distance au centre Ω est égale au rayon r

Question 12

12. Comment recherche-t-on les points communs à un cercle et à une droite ?

On additionne les coordonnées du centre et celles d’un point de la droite

On remplace l’équation du cercle par celle d’un second cercle de même centre

On écrit les deux équations, puis on résout le système correspondant

On calcule le rayon du cercle, puis on compare les pentes des deux courbes

Explication

Les positions communes doivent satisfaire simultanément l’équation du cercle et celle de la droite ; on résout donc le système formé par ces deux équations. Comparer les pentes ne permet pas de déterminer les coordonnées des points d’intersection.

Answer

On écrit les deux équations, puis on résout le système correspondant

Question 13

13. Pour localiser un point situé à la même distance de deux antennes, quelle méthode algébrique est appropriée ?

Soustraire les deux équations de cercle, puis remplacer la relation obtenue dans l’une d’elles

Calculer la distance entre les antennes, puis attribuer cette distance à chaque coordonnée du point

Résoudre la première équation de cercle sans utiliser les coordonnées de la seconde antenne

Additionner les deux équations de cercle, puis conserver les deux inconnues sans substitution

Explication

La soustraction élimine le terme commun et fournit une condition vérifiée par les points équidistants des deux antennes ; cette relation est ensuite remplacée dans l’une des équations. Résoudre un seul cercle donnerait toutes ses positions, sans imposer l’égalité des distances aux deux antennes.

Answer

Soustraire les deux équations de cercle, puis remplacer la relation obtenue dans l’une d’elles

QCM : Géométrie repérée — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un vecteur directeur d’une droite ?

2. Pour la droite d’équation $3x-2y+5=0$ , quel vecteur peut servir de vecteur directeur ?

3. Que peut-on conclure lorsqu’un point et un vecteur directeur non nul sont connus ?

4. Quelle forme possède une équation cartésienne d’une droite ?

5. Pourquoi les équations $2x-4y+6=0$ et $x-2y+3=0$ représentent-elles la même droite ?

6. Comment vérifier que les vecteurs $\vec u=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ sont colinéaires ?

7. Pour les points A(0;1), B(3;2) et C(9;4), quelle conclusion obtient-on à partir de $\overrightarrow{AB}=(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}=(6;2)$ ?

8. Pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite passant par deux points connus, quelle démarche faut-il suivre ?

9. Quelle équation représente la droite passant par A(1;-2) et B(3;4) ?

10. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre $\Omega(x_\Omega;y_\Omega)$ et de rayon $r$ ?

11. Quelle condition permet de déterminer si un point M appartient à un cercle de centre Ω et de rayon r ?

12. Comment recherche-t-on les points communs à un cercle et à une droite ?

13. Pour localiser un point situé à la même distance de deux antennes, quelle méthode algébrique est appropriée ?

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QCM : Géométrie repérée — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un vecteur directeur d’une droite ?

2. Pour la droite d’équation 3x−2y+5=03x-2y+5=03x−2y+5=0, quel vecteur peut servir de vecteur directeur ?

3. Que peut-on conclure lorsqu’un point et un vecteur directeur non nul sont connus ?

4. Quelle forme possède une équation cartésienne d’une droite ?

5. Pourquoi les équations 2x−4y+6=02x-4y+6=02x−4y+6=0 et x−2y+3=0x-2y+3=0x−2y+3=0 représentent-elles la même droite ?

6. Comment vérifier que les vecteurs u⃗=(23)\vec u=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}u=(23​) et v⃗=(46)\vec v=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}v=(46​) sont colinéaires ?

7. Pour les points A(0;1), B(3;2) et C(9;4), quelle conclusion obtient-on à partir de AB→=(3;1)\overrightarrow{AB}=(3;1)AB=(3;1) et AC→=(6;2)\overrightarrow{AC}=(6;2)AC=(6;2) ?

8. Pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite passant par deux points connus, quelle démarche faut-il suivre ?

9. Quelle équation représente la droite passant par A(1;-2) et B(3;4) ?

10. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre Ω(xΩ;yΩ)\Omega(x_\Omega;y_\Omega)Ω(xΩ​;yΩ​) et de rayon rrr ?

11. Quelle condition permet de déterminer si un point M appartient à un cercle de centre Ω et de rayon r ?

12. Comment recherche-t-on les points communs à un cercle et à une droite ?

13. Pour localiser un point situé à la même distance de deux antennes, quelle méthode algébrique est appropriée ?

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2. Pour la droite d’équation $3x-2y+5=0$ , quel vecteur peut servir de vecteur directeur ?

5. Pourquoi les équations $2x-4y+6=0$ et $x-2y+3=0$ représentent-elles la même droite ?

6. Comment vérifier que les vecteurs $\vec u=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ sont colinéaires ?

7. Pour les points A(0;1), B(3;2) et C(9;4), quelle conclusion obtient-on à partir de $\overrightarrow{AB}=(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}=(6;2)$ ?

10. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre $\Omega(x_\Omega;y_\Omega)$ et de rayon $r$ ?