Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et combinaisons linéaires
2. Colinéarité et droites de l’espace
3. Plans et coplanarité
4. Positions relatives dans l’espace
5. Bases et coordonnées de l’espace
6. Calculs de coordonnées
7. Représentation paramétrique d’une droite

📖 1. Vecteurs et combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Le vecteur de l’espace associé au couple de points (A ; B) est le vecteur de la translation qui transforme A en B, et si A = B, le vecteur associé est le vecteur nul.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs u₁, …, uₙ est un vecteur v qui s’écrit $\vec{v}=k_1\vec{u_1}+k_2\vec{u_2}+\ldots+k_n\vec{u_n}$ avec des coefficients réels k₁, …, kₙ.

📝 Points essentiels

• Pour tout point A et tout vecteur u, il existe un unique point B tel que le vecteur AB soit égal à u.

• Les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

• Les règles de calcul sur les vecteurs du plan restent valables dans l’espace.

• Si BM = 3/4 BC, alors, par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

💡 Astuce mémo

De A vers B, le vecteur suit la translation qui envoie A sur B.

📖 2. Colinéarité et droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.
• Droite de l’espace : La droite (AB), avec A et B distincts, est l’ensemble des points M tels qu’il existe un réel k vérifiant $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ ; AB est un vecteur directeur de la droite.

📝 Points essentiels

• Une droite de l’espace est définie par un point A et un vecteur directeur u, et se note d(A ; u).

• Dans l’exemple du cube, les vecteurs AK et JI vérifient $\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{JI}$, donc les droites (AK) et (IJ) sont parallèles.

📖 3. Plans et coplanarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de l’espace : Pour trois points non alignés A, B et C, le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels qu’il existe deux réels a et b vérifiant $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$.
• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires lorsque les points A, B, C et D tels que u = AB, v = AC et w = AD appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Si u et v ne sont pas colinéaires, u, v et w sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels a et b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ ; ils sont aussi coplanaires si u et v sont colinéaires.

Compléments

• Un plan est défini par un point A et deux vecteurs directeurs u et v non colinéaires, et se note P(A ; u ; v).

• Dans le cube ABCDEFGH, si I est le milieu de [EF], alors $\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{GC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FE}$, ce qui montre que GC, FE et AI sont coplanaires.

📖 4. Positions relatives dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites coplanaires : Deux droites sont coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.
• Droite parallèle à un plan : Une droite d(A ; u) est parallèle au plan P(A ; v ; w) si les vecteurs u, v et w sont coplanaires.
• Plans parallèles : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs directeurs de l’un peuvent être deux vecteurs directeurs de l’autre ; s’ils ont un point commun, ils sont confondus.

★ À maîtriser

• Deux droites distinctes de l’espace ont trois configurations possibles :
  • non coplanaires
  • sécantes et coplanaires
  • parallèles et coplanaires

📌 Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle n’a aucun point commun avec ce plan ; cela équivaut aussi à ce que le plan contienne une droite parallèle à cette droite.

• Deux plans non parallèles sont sécants selon une droite, et deux plans distincts sont soit parallèles stricts, soit sécants.

Compléments

📌 Par rapport à un plan, une droite peut être sécante avec une intersection réduite à un point I, parallèle avec une intersection vide, ou incluse dans le plan avec pour intersection la droite entière.

💡 Astuce mémo

Deux droites sans point commun peuvent être parallèles dans un même plan ou non coplanaires dans l’espace.

📖 5. Bases et coordonnées de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est formé d’un point origine O et d’une base de l’espace (i ; j ; k), et se note (O ; i ; j ; k).

📝 Points essentiels

• Dans une base (i ; j ; k), tout vecteur u s’écrit de manière unique $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, et (x ; y ; z) sont ses coordonnées.

• Dans le repère (O ; i ; j ; k), tout point M s’écrit de manière unique $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ et se note M(x ; y ; z), où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.

📖 6. Calculs de coordonnées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), les coordonnées du vecteur AB sont $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\ ;\ z_B-z_A)$.

📐 Formule - Le milieu du segment [AB], avec A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\ ;\ \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Compléments

• Pour déterminer les coordonnées de M à partir de CM = 3/4 AB, on calcule d’abord AB, puis 3/4 AB, on exprime CM avec les coordonnées inconnues de M et on identifie les coordonnées.

📖 7. Représentation paramétrique d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation paramétrique : Pour une droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et de vecteur directeur u(a ; b ; c), un point M(x ; y ; z) appartient à la droite si et seulement s’il existe un réel t tel que $\begin{cases}x=x_A+ta\y=y_A+tb\z=z_A+tc\end{cases}$ ; ce système est une représentation paramétrique de la droite et t est son paramètre.

★ À maîtriser

📌 Un point appartient à une droite paramétrée si et seulement si ses coordonnées satisfont les trois équations pour une même valeur réelle du paramètre.

Compléments

• La droite passant par A(1 ; -4 ; 3) et de vecteur directeur (5 ; 1 ; -2) admet la représentation $\begin{cases}x=1+5t\y=-4+t\z=3-2t\end{cases}$.

• Pour la droite définie par x = 1 + 5t, y = -4 + t et z = 3 - 2t, le point B(14 ; -7 ; 9) n’appartient pas à la droite car le système obtenu n’a pas de solution.

• Une droite donnée possède une infinité de représentations paramétriques.