QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel vecteur est associé au couple de points (A ; B) lorsque la translation considérée transforme A en B ?

Le vecteur directeur de la droite passant par A et B, même si ces points sont confondus
Un vecteur de longueur égale à la distance de A à B, mais de direction arbitraire
Le vecteur de cette translation, qui est nul si A et B sont confondus
Le vecteur nul dès qu'A et B appartiennent à une même droite

Le vecteur de cette translation, qui est nul si A et B sont confondus

Explication

Le vecteur associé à (A ; B) est celui de la translation qui envoie A sur B, et il est nul lorsque les deux points coïncident. Un vecteur directeur de la droite AB ne décrit pas cette association et n’est pas défini de cette façon lorsqu'A et B sont confondus.

2. Quelle expression caractérise une combinaison linéaire des vecteurs u1⃗,…,un⃗\vec{u_1},\ldots,\vec{u_n} ?

Un vecteur obtenu en additionnant les coefficients réels sans tenir compte des vecteurs
Un vecteur égal à la somme des vecteurs, avec un coefficient nécessairement égal à 1 pour chacun
Un vecteur obtenu en multipliant les vecteurs entre eux, puis en additionnant les produits
Un vecteur obtenu en multipliant chaque vecteur par un réel, puis en additionnant les résultats

Un vecteur obtenu en multipliant chaque vecteur par un réel, puis en additionnant les résultats

Explication

Une combinaison linéaire s’écrit comme une somme de vecteurs multipliés chacun par un coefficient réel. La somme simple des vecteurs correspond au cas particulier où tous les coefficients valent 1, et ne couvre donc pas toutes les combinaisons linéaires.

3. Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires lorsque quelle relation est vérifiée ?

Leurs normes sont égales et leurs sens sont opposés
Il existe un réel kk tel que u⃗+v⃗=k\vec{u}+\vec{v}=k
Leur somme est nécessairement le vecteur nul
Il existe un réel kk tel que u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}

Il existe un réel $$k$$ tel que $$\vec{u}=k\vec{v}$$

Explication

La colinéarité signifie que l’un des vecteurs est un multiple réel de l’autre. Des normes égales avec des sens opposés décrivent un cas particulier, pas le critère général de colinéarité.

4. Comment définit-on le plan $(ABC)$ lorsque les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés ?

Comme l’ensemble des points $M$ dont les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
Comme l’ensemble des points $M$ situés à égale distance de $A$, $B$ et $C$
Comme l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ s’écrit comme combinaison de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
Comme l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{BM}$ soit parallèle à $\overrightarrow{AC}$

Comme l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ s’écrit comme combinaison de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

Explication

Le plan $(ABC)$ regroupe les points $M$ pour lesquels il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$. La colinéarité de $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ décrit plutôt une droite passant par $A$.

5. Combien de configurations sont possibles pour deux droites distinctes de l’espace ?

Trois : non coplanaires, sécantes coplanaires ou parallèles coplanaires
Quatre : non coplanaires, sécantes coplanaires, parallèles coplanaires ou confondues
Trois : non coplanaires, sécantes non coplanaires ou parallèles coplanaires
Deux : sécantes coplanaires ou parallèles coplanaires

Trois : non coplanaires, sécantes coplanaires ou parallèles coplanaires

Explication

Deux droites distinctes de l’espace peuvent être non coplanaires, sécantes et coplanaires, ou parallèles et coplanaires. Des droites distinctes ne sont pas confondues, et deux droites sécantes sont coplanaires.

6. Quel est le rôle de la base dans un repère de l’espace ?

Elle sert à calculer directement la distance entre deux points de l’espace.
Elle permet d’exprimer de manière unique tout vecteur à l’aide de trois coordonnées.
Elle détermine les relations de parallélisme entre les droites de l’espace.
Elle fixe le point origine à partir duquel les coordonnées des points sont mesurées.

Elle permet d’exprimer de manière unique tout vecteur à l’aide de trois coordonnées.

Explication

Les trois vecteurs non coplanaires de la base permettent d’écrire chaque vecteur de façon unique comme combinaison de ces vecteurs, et les coefficients sont ses coordonnées. Le point origine, contrairement à la base, sert à repérer les points de l’espace.

7. En quoi le calcul des coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} diffère-t-il de celui du milieu du segment [AB][AB] ?

On soustrait les coordonnées de A à celles de B pour le vecteur, tandis qu’on calcule les moyennes des coordonnées correspondantes pour le milieu.
On additionne les coordonnées de A et de B pour le vecteur, tandis qu’on soustrait celles de B à celles de A pour le milieu.
On soustrait les coordonnées de B à celles de A pour le vecteur, tandis qu’on additionne celles de A et de B sans les diviser pour le milieu.
On calcule les moyennes des coordonnées pour le vecteur, tandis qu’on soustrait celles de A à celles de B pour le milieu.

On soustrait les coordonnées de A à celles de B pour le vecteur, tandis qu’on calcule les moyennes des coordonnées correspondantes pour le milieu.

Explication

Les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} s’obtiennent en faisant, pour chaque coordonnée, « arrivée moins départ », alors que celles du milieu sont les moyennes des coordonnées des deux extrémités. Inverser la soustraction donne les coordonnées de BA→\overrightarrow{BA}, et non celles du milieu.

8. Pourquoi faut-il utiliser une même valeur réelle de tt dans les trois équations paramétriques pour vérifier qu’un point appartient à une droite ?

Parce que chaque coordonnée peut alors varier indépendamment sur la droite.
Parce que cette valeur garantit que le vecteur directeur est de longueur unitaire.
Parce que cette valeur décrit un même point de la droite dans ses trois coordonnées.
Parce que les trois équations déterminent trois droites qui se coupent en ce point.

Parce que cette valeur décrit un même point de la droite dans ses trois coordonnées.

Explication

Le paramètre tt correspond à un point unique obtenu en avançant d’une même quantité selon le vecteur directeur, ce qui fixe simultanément ses trois coordonnées. Des valeurs différentes pour chaque équation ne garantiraient pas que les coordonnées décrivent un même point de la droite.

9. Dans un triangle, si le point M est situé sur le segment [BC] et vérifie BM→=34BC→\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}, quelle expression permet de calculer AM→\overrightarrow{AM} à partir des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ?

AM→=34AB→−14AC→\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}
AM→=14AB→−34AC→\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}
AM→=14AB→+34AC→\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}
AM→=34AB→+14AC→\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles donne AM→=AB→+BM→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}, puis BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} conduit à l’expression indiquée. L’expression avec les coefficients inversés ne tient pas compte de la fraction de BC→\overrightarrow{BC} parcourue à partir de B.

10. Quelles données permettent de définir une droite de l’espace sous la forme d(A;u⃗)d(A;\vec{u}) ?

Un point AA de la droite et deux vecteurs directeurs non colinéaires
Deux vecteurs colinéaires et un point extérieur à la droite
Un point AA de la droite et un vecteur directeur non nul u⃗\vec{u}
Deux points distincts de la droite et un plan qui la contient

Un point $$A$$ de la droite et un vecteur directeur non nul $$\vec{u}$$

Explication

Une droite de l’espace est définie par un point qui lui appartient et un vecteur directeur. Deux points distincts peuvent également déterminer une droite, mais ce n’est pas la caractérisation demandée par la notation d(A;u⃗)d(A;\vec{u}).

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Comment définit-on le vecteur de l’espace associé à deux points A et B ?

C’est le vecteur de la translation qui transforme A en B.

Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires ?

L’un est un multiple réel de l’autre.

Comment exprime-t-on le vecteur AM si BM = 3/4 BC ?

AM→=14AB→+34AC→\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}

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