Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations dans l’espace
2. Colinéarité des vecteurs
3. Coplanarité et bases de l’espace
4. Repères de l’espace
5. Calculs en coordonnées
6. Colinéarité en coordonnées
7. Coplanarité des vecteurs et des points
8. Positions relatives dans l’espace
9. Propriétés de parallélisme spatial
10. Droites et représentation paramétrique
11. Plans et directions vectorielles
12. Méthodes vectorielles de démonstration

📖 1. Vecteurs et opérations dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, cette dernière étant la longueur du segment orienté qui le représente.

★ À maîtriser

📌 La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, et, si ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme ; pour des points A, B, C et D, cela équivaut à ce que ABDC soit un parallélogramme, éventuellement aplati, ou que [AD] et [BC] aient le même milieu.

• Pour des vecteurs u et v et des réels k et k′, l’addition est commutative et associative, la multiplication par un réel est distributive sur l’addition des vecteurs et des scalaires, et $k(k'u)=(kk')u$.

• Pour un réel k et un vecteur u, $ku=\vec 0$ si et seulement si k=0 ou u=\vec 0.

• Dans un cube ABCDEFGH, la diagonale vérifie $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

📖 2. Colinéarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, et deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction.

★ À maîtriser

📌 Pour A≠B et C≠D, A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, tandis que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, confondues ou strictement, si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Compléments

• Pour démontrer un alignement ou un parallélisme, on exprime un vecteur en fonction de l’autre à l’aide de la relation de Chasles et on vérifie qu’un réel k satisfait $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$.

• Dans un cube, si I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC], alors $\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{EG}$, donc les droites (IJ) et (EG) sont parallèles.

📖 3. Coplanarité et bases de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires lorsque leurs représentants peuvent être placés dans un même plan ; cette propriété ne dépend pas du point choisi pour les représenter.

★ À maîtriser

• Si u et v ne sont pas colinéaires, w est coplanaire avec eux si et seulement s’il existe un unique couple de réels (a,b) tel que $w=au+bv$.

• Si A, B et C ne sont pas alignés, A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ pour deux réels x et y.

• Dans une base de l’espace, tout vecteur s’écrit de façon unique $u=xi+yj+zk$, et (x,y,z) est son triplet de coordonnées dans cette base.

Compléments

• Deux vecteurs sont toujours coplanaires, et trois vecteurs le sont si deux d’entre eux sont colinéaires ou si l’un d’eux est nul.

• Dans un cube ABCDEFGH, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ est une base de l’espace, et dans un tétraèdre ABCD, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ en est une.

• Pour décomposer un vecteur dans une base, on le suit par un chemin utilisant la relation de Chasles, puis on remplace les vecteurs obtenus par ceux de la base à l’aide des parallélismes, des longueurs, des milieux et des parallélogrammes.

• Dans la base $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ d’un tétraèdre ABCD, si G est le centre de gravité du triangle BCD, alors $\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\frac13\overrightarrow{AD}$.

📖 4. Repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Un quadruplet (O;i,j,k) constitué d’une origine O et d’une base (i,j,k) ; les coordonnées (x,y,z) de M sont définies par $\overrightarrow{OM}=xi+yj+zk$, où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.
• Repère orthonormé : Un repère dont les trois vecteurs de base ont pour norme 1 et sont deux à deux orthogonaux.

📝 Points essentiels

• Dans un cube d’arête 1, le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ est orthonormé, et les sommets A, B, C, D, E, F, G et H ont respectivement pour coordonnées (0;0;0), (1;0;0), (1;1;0), (0;1;0), (0;0;1), (1;0;1), (1;1;1) et (0;1;1).

📖 5. Calculs en coordonnées

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs trois coordonnées correspondantes sont égales ; l’addition de vecteurs et la multiplication par un réel s’effectuent coordonnée par coordonnée.

📐 Formule - Dans un repère, si A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), alors $\overrightarrow{AB}=(xB-xA\,;\,yB-yA\,;\,zB-zA)$.

📐 Formule - Le milieu I de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{xA+xB}{2}\,;\,\frac{yA+yB}{2}\,;\,\frac{zA+zB}{2}\right)$.

Compléments

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, un vecteur u de coordonnées (x;y;z) a pour norme $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre A et B vérifie $AB=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2+(zB-zA)^2}$.

• Pour A(1;2;−1), B(3;0;2) et C(7;−4;8), on a $\overrightarrow{AB}=(2;−2;3)$, $\overrightarrow{AC}=(6;−6;9)=3\overrightarrow{AB}$ ; ainsi A, B et C sont alignés, et le milieu de [AB] est (2;1;1/2).

📖 6. Colinéarité en coordonnées

📝 Points essentiels

📌 Pour un vecteur u non nul de coordonnées (x;y;z) et un vecteur v de coordonnées (x′;y′;z′), u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que x′=kx, y′=ky et z′=kz ; leurs coordonnées sont alors proportionnelles.

📖 7. Coplanarité des vecteurs et des points

★ À maîtriser

• Pour tester si trois vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires avec $\vec w$ sont coplanaires, on cherche des réels $a,b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$, puis on résout le système des trois équations coordonnées : une solution signifie qu’ils sont coplanaires, tandis qu’aucune solution signifie qu’ils ne le sont pas et qu’ils forment une base de l’espace.

Compléments

• Avec $\vec u=(1{,}0{,}1)$, $\vec v=(0{,}1{,}2)$ et $\vec w=(2{,}3{,}8)$, on a $\vec w=2\vec u+3\vec v$, donc ces trois vecteurs sont coplanaires.

• Pour $\vec w'=(2{,}3{,}7)$, les deux premières coordonnées imposent $a=2,b=3$, mais la troisième exigerait $8=7$ ; le système n’a pas de solution et $\vec u,\vec v,\vec w'$ ne sont pas coplanaires.

• Pour les points $A(1{,}1{,}0),B(2{,}3{,}1),C(0{,}2{,}2),D(2{,}6{,}4)$, on a $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, donc $D$ appartient au plan $(ABC)$ et les quatre points sont coplanaires.

💡 Astuce mémo

Une solution place le troisième vecteur dans le plan ; aucune solution en fait une direction hors du plan.

📖 8. Positions relatives dans l’espace

📝 Points essentiels

• Deux droites de l’espace sont soit non coplanaires, soit coplanaires ; dans ce dernier cas, elles sont confondues, strictement parallèles ou sécantes.

• Deux plans de l’espace sont confondus, strictement parallèles ou sécants selon une droite.

• Une droite et un plan sont dans l’une des situations suivantes : la droite est incluse dans le plan, ils sont strictement parallèles ou ils sont sécants en un point.

📖 9. Propriétés de parallélisme spatial

★ À maîtriser

• Si une droite est parallèle à une droite contenue dans un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

• Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.

• Si un plan contient deux droites sécantes parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles.

Compléments

• Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

• Si deux plans sécants contiennent chacun une droite et que ces droites sont parallèles, leur droite d’intersection est parallèle à ces deux droites.

• Si deux plans sécants sont tous deux parallèles à une même droite, leur droite d’intersection est parallèle à cette droite.

• Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et leurs droites d’intersection sont parallèles.

📖 10. Droites et représentation paramétrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de vecteur directeur : L’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ pour un réel t, où $\vec u$ est un vecteur directeur non nul.

★ À maîtriser

📌 Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

📐 Formule - Pour une droite passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $(a,b,c)$, un point $M(x,y,z)$ appartient à la droite si et seulement s’il existe un réel t tel que $x=x_A+ta,\quad y=y_A+tb,\quad z=z_A+tc.$

Compléments

• La droite passant par $A(1{,}2,-1)$ et de vecteur directeur $(2,-1{,}3)$ admet la représentation paramétrique $x=1+2t,\quad y=2-t,\quad z=-1+3t,\quad t\in\mathbb R.$

📖 11. Plans et directions vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de vecteurs directeurs : L’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v$, pour des réels a et b, où $\vec u$ et $\vec v$ sont non colinéaires.

★ À maîtriser

📌 Une droite de vecteur directeur $\vec w$ est parallèle à un plan dirigé par $\vec u,\vec v$ si et seulement si $\vec w,\vec u,\vec v$ sont coplanaires, c’est-à-dire si $\vec w=a\vec u+b\vec v$ pour certains réels a et b.

📌 Deux plans dirigés respectivement par $(\vec u,\vec v)$ et $(\vec u',\vec v')$ sont parallèles si et seulement si chacun des vecteurs $\vec u',\vec v'$ est coplanaire avec $\vec u,\vec v$.

Compléments

• Trois points non alignés A, B et C déterminent un unique plan $(ABC)$, dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

📖 12. Méthodes vectorielles de démonstration

📝 Points essentiels

• Trois points A, B, C sont alignés si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel k.

• Pour établir que deux droites sont parallèles, on montre que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Pour établir que quatre points A, B, C, D sont coplanaires avec A, B, C non alignés, on cherche des réels x et y tels que $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

• Pour établir que deux plans sont parallèles, on exprime deux vecteurs directeurs de l’un comme combinaisons linéaires de deux vecteurs directeurs de l’autre.

• Trois vecteurs $\vec i,\vec j,\vec k$ forment une base de l’espace s’ils ne sont pas coplanaires, ce qui revient à vérifier que $\vec i$ et $\vec j$ ne sont pas colinéaires et que l’équation $\vec k=a\vec i+b\vec j$ n’a pas de solution.