Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et colinéarité dans l’espace
2. Coplanarité et bases de l’espace
3. Repères et coordonnées dans l’espace
4. Coplanarité par coordonnées
5. Positions relatives dans l’espace
6. Parallélisme dans l’espace
7. Droites et vecteurs directeurs
8. Plans et directions vectorielles
9. Méthodes vectorielles de démonstration

📖 1. Vecteurs et colinéarité dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, cette dernière étant la longueur du segment associé.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur et deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction.

★ À maîtriser

• Les opérations vectorielles de l’espace obéissent aux mêmes règles de calcul que celles du plan, notamment la relation de Chasles, la règle du parallélogramme, la commutativité et l’associativité de l’addition, la distributivité de la multiplication par un réel et la règle concernant le vecteur nul.

📌 Les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, confondues ou strictement parallèles, si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Compléments

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme ; ainsi, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati, ou que $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.

• Dans un cube $ABCDEFGH$, $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

• Pour établir un alignement ou un parallélisme à l’aide de vecteurs, on exprime l’un des vecteurs en fonction de l’autre avec la relation de Chasles, puis on vérifie qu’ils sont proportionnels.

📖 2. Coplanarité et bases de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires lorsque leurs représentants peuvent être placés dans un même plan ; cette propriété ne dépend pas du point choisi pour construire leurs représentants.
• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non coplanaires $(\vec i,\vec j,\vec k)$.

★ À maîtriser

• Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec w$ est coplanaire avec eux si et seulement s’il existe un unique couple de réels $(a;b)$ tel que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ ; $\vec w$ est alors une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$.

• Si $A,B,C$ ne sont pas alignés, alors $A,B,C,D$ sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels $x,y$ tels que $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

• Dans une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$ de l’espace, tout vecteur s’écrit de manière unique sous la forme $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ; $(x;y;z)$ est son triplet de coordonnées dans cette base.

Compléments

• Deux vecteurs sont toujours coplanaires ; trois vecteurs le sont également si deux d’entre eux sont colinéaires ou si l’un d’eux est nul.

• Dans un cube $ABCDEFGH$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ est une base, et dans un tétraèdre $ABCD$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ est une base.

• Dans un tétraèdre $ABCD$, si $I$ est le milieu de $[CD]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $BCD$, alors $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\frac13\overrightarrow{AD}$ ; de plus, $\overrightarrow{BG}=\frac23\overrightarrow{BI}$, donc $B,G,I$ sont alignés.

📖 3. Repères et coordonnées dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Un quadruplet $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ constitué d’une origine $O$ et d’une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$ ; les coordonnées $(x;y;z)$ d’un point $M$ sont définies par $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$, où $x$ est l’abscisse, $y$ l’ordonnée et $z$ la cote.
• Repère orthonormé : Lorsque ses trois vecteurs de base sont de norme 1 et deux à deux orthogonaux.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère, l’égalité de deux vecteurs équivaut à l’égalité coordonnée par coordonnée, l’addition et la multiplication par un réel s’effectuent coordonnée par coordonnée, et $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule - Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📌 Un vecteur non nul de coordonnées $(x;y;z)$ et un vecteur de coordonnées $(x';y';z')$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $x'=kx$, $y'=ky$ et $z'=kz.

Compléments

• Dans un cube d’arête 1, $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ est un repère orthonormé et les coordonnées de $A,B,C,D,E,F,G,H$ sont respectivement $(0;0;0)$, $(1;0;0)$, $(1;1;0)$, $(0;1;0)$, $(0;0;1)$, $(1;0;1)$, $(1;1;1)$ et $(0;1;1)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur de coordonnées $(x;y;z)$ est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et la distance entre $A$ et $B$ est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

• Pour $A(1;2;-1)$, $B(3;0;2)$ et $C(7;-4;8)$, on a $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$, donc $A,B,C$ sont alignés, et le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $(2;1;\frac12)$.

📖 4. Coplanarité par coordonnées

★ À maîtriser

• Pour tester la coplanarité de trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$, avec $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires, on cherche des réels $a,b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$, puis on résout le système des trois équations coordonnées : une solution prouve la coplanarité et l’absence de solution prouve la non-coplanarité.

Compléments

• Pour $\vec u=(1{,}0{,}1)$, $\vec v=(0{,}1{,}2)$ et $\vec w'=(2{,}3{,}7)$, le système imposerait $a=2$, $b=3$ et $a+2b=7$, ce qui est impossible ; ces trois vecteurs ne sont donc pas coplanaires.

• Pour les points $A(1{,}1{,}0)$, $B(2{,}3{,}1)$, $C(0{,}2{,}2)$ et $D(2{,}6{,}4)$, on a $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, donc les quatre points sont coplanaires.

💡 Astuce mémo

Solution du système : coplanaires ; absence de solution : non coplanaires.

📖 5. Positions relatives dans l’espace

📝 Points essentiels

• Les positions possibles de deux droites sont : non coplanaires, confondues, strictement parallèles, sécantes

• Les positions possibles de deux plans sont : confondus, strictement parallèles, sécants selon une droite

• Les positions possibles d’une droite et d’un plan sont :

  • la droite est incluse dans le plan
  • la droite est strictement parallèle au plan
  • la droite est sécante au plan en un point

📖 6. Parallélisme dans l’espace

★ À maîtriser

• Si une droite est parallèle à une droite contenue dans un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

• Si un plan contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

• Si deux plans sécants contiennent chacun une droite et que ces deux droites sont parallèles, leur droite d’intersection est parallèle aux deux droites contenues dans les plans.

• Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et leurs droites d’intersection sont parallèles.

Compléments

• Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.

• Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

• Si deux plans sécants sont tous deux parallèles à une même droite, leur droite d’intersection est parallèle à cette droite.

📖 7. Droites et vecteurs directeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de vecteur directeur : Une droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur non nul $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires, soit $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ pour un réel $t$.

★ À maîtriser

📌 Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

📐 Formule - Une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $(a,b,c)$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_A+ta\y=y_A+tb\z=z_A+tc\end{cases},\quad t\in\mathbb R.$

Compléments

• La droite passant par $A(1;2;-1)$ et de vecteur directeur $(2;-1;3)$ admet la représentation paramétrique $x=1+2t$, $y=2-t$, $z=-1+3t$, avec $t\in\mathbb R$.

📖 8. Plans et directions vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de vecteurs directeurs : Un plan passant par $A$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v$, avec $a,b\in\mathbb R$.

★ À maîtriser

📌 Une droite de vecteur directeur $\vec w$ est parallèle à un plan de vecteurs directeurs $\vec u,\vec v$ si et seulement si $\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u,\vec v$, c’est-à-dire si les trois vecteurs sont coplanaires.

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement si chacun des vecteurs directeurs de l’un est coplanaire avec les deux vecteurs directeurs de l’autre.

Compléments

• Trois points non alignés $A,B,C$ déterminent un unique plan $(ABC)$, dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont des vecteurs directeurs.

• Dans le cube, $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}=(-1{,}1{,}0)$, donc la droite $(FH)$ est parallèle au plan $(BDG)$, dirigé par $\overrightarrow{BD}\text{ et }\overrightarrow{BG}$.

• Dans le cube, les plans $(AFH)$ et $(BDG)$ sont parallèles, car leurs vecteurs directeurs sont coplanaires deux à deux : $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BD}$.

📖 9. Méthodes vectorielles de démonstration

📝 Points essentiels

• Pour montrer que trois points $A,B,C$ sont alignés, on établit que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$.

• Pour montrer que deux droites sont parallèles, on vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Pour montrer que quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires, avec $A,B,C$ non alignés, on cherche des réels $x,y$ tels que $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

• Pour montrer qu’une droite de vecteur directeur $\vec w$ est parallèle à un plan de vecteurs directeurs $\vec u,\vec v$, on cherche à écrire $\vec w=a\vec u+b\vec v$.

• Pour montrer que deux plans sont parallèles, on exprime deux vecteurs directeurs de l’un comme combinaisons linéaires de deux vecteurs directeurs de l’autre.

• Trois vecteurs $\vec i,\vec j,\vec k$ forment une base de l’espace s’ils ne sont pas coplanaires, ce qui revient à vérifier que l’équation $\vec k=a\vec i+b\vec j$ n’a pas de solution.