QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (27 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour décrire entièrement un vecteur de l’espace, quelles caractéristiques faut-il préciser ?

Sa direction, son sens et sa norme
Sa direction, son sens et son point d’application
Son sens, son origine et sa longueur orientée
Sa direction, son origine et sa norme

Sa direction, son sens et sa norme

Explication

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, qui est la longueur du segment associé. L’origine n’est pas une caractéristique du vecteur lui-même, et la norme n’est pas le sens.

2. Pour quatre points $A,B,C,D$, on sait que AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. Quelle règle vectorielle exprime cette égalité ?

La règle du parallélogramme
La commutativité de l’addition
La distributivité par un réel
La relation de Chasles

La relation de Chasles

Explication

La relation de Chasles permet d’enchaîner les déplacements de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, pour obtenir le déplacement de $A$ à $C$. La règle du parallélogramme concerne deux côtés issus d’un même sommet, tandis que la commutativité et la distributivité décrivent d’autres règles de calcul.

3. Dans un calcul, u⃗=0⃗\vec u=\vec 0 et v⃗≠0⃗\vec v\ne\vec 0. Quelle conclusion peut-on tirer sur ces deux vecteurs ?

Ils ont la même direction définie
Ils sont colinéaires
Ils sont égaux
Ils ont la même norme non nulle

Ils sont colinéaires

Explication

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, donc il est colinéaire à $\vec v$. L’égalité exigerait que $\vec v$ soit nul lui aussi ; la colinéarité n’implique pas que les vecteurs soient égaux.

4. Pour vérifier si trois points $P,Q,R$ sont alignés, quelle comparaison de vecteurs suffit ?

Vérifier que PQ→\overrightarrow{PQ} et PR→\overrightarrow{PR} sont égaux
Vérifier que PQ→\overrightarrow{PQ} et RS→\overrightarrow{RS} sont colinéaires
Vérifier que PQ→\overrightarrow{PQ} et PR→\overrightarrow{PR} sont colinéaires
Vérifier que PQ→\overrightarrow{PQ} et QR→\overrightarrow{QR} sont égaux

Vérifier que $$\overrightarrow{PQ}$$ et $$\overrightarrow{PR}$$ sont colinéaires

Explication

Trois points $P,Q,R$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires. L’égalité de ces vecteurs est une condition plus forte, et la comparaison avec $\overrightarrow{RS}$ concerne plutôt le parallélisme de deux droites.

5. Trois vecteurs ont des représentants situés dans un même plan. Quelle propriété décrit cette situation ?

Les trois vecteurs sont colinéaires
Les trois vecteurs sont coplanaires
Les trois vecteurs ont la même origine
Les trois vecteurs forment une base

Les trois vecteurs sont coplanaires

Explication

Des vecteurs sont coplanaires lorsqu’on peut choisir leurs représentants dans un même plan ; cette propriété ne dépend pas du point choisi pour les construire. La colinéarité est une condition plus restrictive, et trois vecteurs coplanaires ne forment pas une base de l’espace.

6. Les vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires. Un vecteur w⃗\vec w s’écrit w⃗=3u⃗−2v⃗\vec w=3\vec u-2\vec v. Quelle conclusion s’impose ?

w⃗\vec w est égal à l’un des deux vecteurs
w⃗\vec w n’est pas coplanaire avec u⃗\vec u et v⃗\vec v
w⃗\vec w est colinéaire à u⃗\vec u et v⃗\vec v
w⃗\vec w est coplanaire avec u⃗\vec u et v⃗\vec v

$$\vec w$$ est coplanaire avec $$\vec u$$ et $$\vec v$$

Explication

Tout vecteur de la forme $a\vec u+b\vec v$ est coplanaire avec $\vec u$ et $\vec v$ ; ici, les coefficients sont $3$ et $-2$. Des coefficients négatifs sont admis, et cette écriture n’affirme pas que $\vec w$ est colinéaire aux deux vecteurs.

7. Les points $A,B,C$ ne sont pas alignés et AD→=2AB→−AC→\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}. Que peut-on en déduire pour $A,B,C,D$ ?

Les quatre points ne sont pas coplanaires
Les quatre points sont alignés
Les quatre points forment une base de l’espace
Les quatre points sont coplanaires

Les quatre points sont coplanaires

Explication

Puisque $\overrightarrow{AD}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, les quatre points sont coplanaires. Un coefficient négatif ne change pas ce critère, et la coplanarité n’exige pas l’alignement des points.

8. Un triplet de vecteurs est proposé comme base de l’espace. Quelle propriété faut-il vérifier pour l’accepter ?

L’un des trois vecteurs est nul
Les trois vecteurs sont coplanaires
Deux des trois vecteurs ne sont pas colinéaires
Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires

Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires

Explication

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires. La non-colinéarité de deux vecteurs ne suffit pas, car trois vecteurs peuvent être non colinéaires deux à deux tout en étant coplanaires.

9. Dans un repère de l’espace, si OM→=−2i⃗+3j⃗+12k⃗\overrightarrow{OM}= -2\vec i+3\vec j+\frac{1}{2}\vec k, quelles sont les coordonnées de MM ?

(−2;3;12)(-2;3;\frac{1}{2})
(2;3;12)(2;3;\frac{1}{2})
(−2;12;3)(-2;\frac{1}{2};3)
(3;−2;12)(3;-2;\frac{1}{2})

$$(-2;3;\frac{1}{2})$$

Explication

Les coefficients de i⃗\vec i, j⃗\vec j et k⃗\vec k donnent respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote. Intervertir les deux premiers coefficients confond abscisse et ordonnée, tandis que placer 12\frac{1}{2} en deuxième ou changer le signe de −2-2 attribue incorrectement les coefficients.

10. Dans un repère, on considère A(2;−1;4)A(2;-1;4) et B(−3;5;1)B(-3;5;1). Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

(−1;4;5)(-1;4;5)
(5;−6;3)(5;-6;3)
(−5;6;−3)(-5;6;-3)
(−5;6;3)(-5;6;3)

$$(-5;6;-3)$$

Explication

On calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} par B−AB-A : (−3−2;5−(−1);1−4)=(−5;6;−3)(-3-2;5-(-1);1-4)=(-5;6;-3). Le résultat B−AB-A inversé change le sens du vecteur, l’addition ne donne pas des coordonnées de vecteur, et (−5;6;3)(-5;6;3) oublie le signe de la dernière différence.

11. Les extrémités d’un segment ont pour coordonnées P(−4;2;7)P(-4;2;7) et Q(6;−2;1)Q(6;-2;1). Quelles sont celles de son milieu ?

(−10;4;6)(-10;4;6)
(1;0;7)(1;0;7)
(1;0;4)(1;0;4)
(23;0;83)(\frac{2}{3};0;\frac{8}{3})

$$(1;0;4)$$

Explication

Les coordonnées du milieu sont les moyennes de celles des extrémités : ((−4+6)/2;(2−2)/2;(7+1)/2)=(1;0;4)((-4+6)/2;(2-2)/2;(7+1)/2)=(1;0;4). Les différences donnent un vecteur, la division par trois ne correspond pas à une moyenne de deux points, et la cote du milieu doit aussi être moyennée.

12. Les vecteurs u⃗=(2;−3;4)\vec u=(2;-3;4) et v⃗=(−6;9;−12)\vec v=(-6;9;-12) sont-ils colinéaires, et quel facteur relie u⃗\vec u à v⃗\vec v ?

Oui, avec le facteur −13-\frac{1}{3}
Non, car les composantes ont des signes différents
Oui, avec le facteur 33
Oui, avec le facteur −3-3

Oui, avec le facteur $$-3$$

Explication

Chaque coordonnée de v⃗\vec v vaut −3-3 fois la coordonnée correspondante de u⃗\vec u; les vecteurs sont donc colinéaires avec le facteur −3-3. Le facteur −13-\frac{1}{3} décrit la relation inverse, 33 ne convient pas aux signes, et des signes opposés n’empêchent pas la colinéarité.

13. Pour u⃗=(1;0;1)\vec u=(1;0;1), v⃗=(0;1;2)\vec v=(0;1;2) et w⃗=(2;3;7)\vec w=(2;3;7), quelle conclusion obtient-on en testant si w⃗=au⃗+bv⃗\vec w=a\vec u+b\vec v ?

Ils sont coplanaires, car les équations imposent a=2a=2, b=3b=3 et a+2b=8a+2b=8.
Ils sont coplanaires, car les équations imposent a=2a=2 et b=3b=3.
Ils ne sont pas coplanaires, car les équations imposent a=3a=3, b=2b=2 et a+2b=7a+2b=7.
Ils ne sont pas coplanaires, car les équations imposent a=2a=2, b=3b=3 et a+2b=7a+2b=7.

Ils ne sont pas coplanaires, car les équations imposent $$a=2$$, $$b=3$$ et $$a+2b=7$$.

Explication

Les deux premières coordonnées donnent a=2a=2 et b=3b=3; la troisième exigerait alors a+2b=8a+2b=8, et non 77. Le système est donc incompatible, ce qui prouve la non-coplanarité; s’arrêter aux deux premières équations ou remplacer la troisième coordonnée masque cette contradiction.

14. Deux droites de l’espace ne sont pas contenues dans un même plan. Quelle est leur position relative ?

Elles sont sécantes.
Elles sont confondues.
Elles sont strictement parallèles.
Elles sont non coplanaires.

Elles sont non coplanaires.

Explication

Des droites non coplanaires ne sont contenues dans aucun même plan. « Strictement parallèles » et « sécantes » désignent des droites coplanaires, tandis que des droites confondues sont une seule et même droite.

15. Une droite et un plan de l’espace ont un seul point commun. Quelle est leur position relative ?

La droite est incluse dans le plan.
La droite est strictement parallèle au plan.
La droite est sécante au plan en un point.
La droite est non coplanaire au plan.

La droite est sécante au plan en un point.

Explication

Une droite sécante à un plan le rencontre en un point. Une droite incluse partage tous ses points avec le plan, tandis qu’une droite strictement parallèle n’a aucun point commun avec lui.

16. Dans un plan PP, une droite dd est parallèle à une droite d′d'. Une droite [?][?] distincte de ce plan est parallèle à d′d'. Que peut-on conclure sur cette droite et PP ?

Elle est incluse dans le plan PP.
Elle est sécante au plan PP en un point.
Elle est parallèle au plan PP.
Elle est non coplanaire à la droite d′d'.

Elle est parallèle au plan $$P$$.

Explication

Une droite parallèle à une droite contenue dans un plan est parallèle à ce plan. L’inclusion confond la direction parallèle avec l’appartenance au plan, et les autres conclusions ne découlent pas de cette propriété.

17. Le plan PP contient deux droites sécantes, chacune parallèle à une droite sécante de P′P'. Quelle conclusion s’impose pour PP et P′P' ?

Les plans PP et P′P' sont sécants selon une droite.
Les plans PP et P′P' sont parallèles.
Les plans PP et P′P' sont confondus.
Les plans PP et P′P' sont perpendiculaires.

Les plans $$P$$ et $$P'$$ sont parallèles.

Explication

Deux droites sécantes d’un plan respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre plan caractérisent le parallélisme des plans. La conclusion porte sur les plans, et non sur leur intersection ou leur angle.

18. Deux plans sécants contiennent chacun une droite, et ces deux droites sont parallèles. Quelle relation a leur droite d’intersection avec ces droites ?

Elle est confondue avec les deux droites contenues dans les plans.
Elle est parallèle aux deux droites contenues dans les plans.
Elle est perpendiculaire aux deux droites contenues dans les plans.
Elle est sécante aux deux droites contenues dans les plans.

Elle est parallèle aux deux droites contenues dans les plans.

Explication

Lorsque deux plans sécants contiennent des droites parallèles, leur droite d’intersection est parallèle à ces deux droites. Le fait que les plans soient sécants exclut qu’ils soient parallèles, et leur intersection n’est pas pour autant confondue avec les droites données.

19. Deux plans parallèles sont coupés par un même troisième plan. Comment sont les deux droites d’intersection obtenues ?

Elles sont parallèles.
Elles sont confondues.
Elles sont sécantes.
Elles sont gauches.

Elles sont parallèles.

Explication

Tout plan sécant à l’un de deux plans parallèles est sécant à l’autre, et les deux droites d’intersection sont parallèles. « Confondues » confond les plans initiaux parallèles avec les droites tracées dans le plan sécant.

20. Une droite passe par le point AA et a pour vecteur directeur non nul u⃗\vec u. Quelle condition caractérise un point MM appartenant à cette droite ?

Il existe un réel tt tel que AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u.
Il existe un réel tt tel que AM→=u⃗+tu⃗\overrightarrow{AM}=\vec u+t\vec u avec t=0t=0.
Il existe un réel tt tel que OM→=tu⃗\overrightarrow{OM}=t\vec u.
Il existe un réel tt tel que AM→⋅u⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=0.

Il existe un réel $$t$$ tel que $$\overrightarrow{AM}=t\vec u$$.

Explication

Les points de la droite sont exactement ceux pour lesquels AM→\overrightarrow{AM} est colinéaire à u⃗\vec u, donc égal à un multiple réel de ce vecteur. L’orthogonalité remplace à tort la colinéarité, la contrainte sur le coefficient exclut la plupart des points et OM→\overrightarrow{OM} ne décrit pas le déplacement depuis AA.

21. Dans l’espace, deux droites ont pour vecteurs directeurs respectifs (2,−3,1)(2,-3,1) et (−6,9,−3)(-6,9,-3). Quelle relation existe entre ces droites ?

Elles sont perpendiculaires, car leurs vecteurs directeurs sont proportionnels.
Elles sont parallèles, car leurs vecteurs directeurs sont proportionnels.
Elles sont gauches, car leurs vecteurs directeurs ne sont pas égaux.
Elles sont sécantes, car leurs vecteurs directeurs sont de sens opposés.

Elles sont parallèles, car leurs vecteurs directeurs sont proportionnels.

Explication

Le second vecteur vaut −3-3 fois le premier : les vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qui caractérise des droites parallèles. Des vecteurs de sens opposés restent colinéaires ; l’égalité des vecteurs n’est pas nécessaire et la proportionnalité ne traduit pas la perpendicularité.

22. Une droite passe par A(3,−2,4)A(3,-2,4) et a pour vecteur directeur (2,1,−3)(2,1,-3). Quelle représentation paramétrique lui correspond ?

x=3+3t,y=−2−2t,z=4+4t,t∈Rx=3+3t,\quad y=-2-2t,\quad z=4+4t,\quad t\in\mathbb R
x=3+2t,y=−2+t,z=4−3t,t∈Rx=3+2t,\quad y=-2+t,\quad z=4-3t,\quad t\in\mathbb R
x=3−2t,y=−2−t,z=4+3t,t∈Rx=3-2t,\quad y=-2-t,\quad z=4+3t,\quad t\in\mathbb R
x=3+t,y=−2+t,z=4+t,t∈Rx=3+t,\quad y=-2+t,\quad z=4+t,\quad t\in\mathbb R

$$x=3+2t,\quad y=-2+t,\quad z=4-3t,\quad t\in\mathbb R$$

Explication

On ajoute à chaque coordonnée de AA le paramètre multiplié par la composante correspondante du vecteur directeur : les coefficients sont donc 2,1,−32,1,-3. Les autres propositions remplacent ce vecteur par (1,1,1) (1,1,1), son opposé ou des coefficients issus des coordonnées de AA.

23. Un plan passe par AA et possède deux vecteurs directeurs non colinéaires u⃗\vec u et v⃗\vec v. Comment caractériser un point MM de ce plan ?

Il existe un réel aa tel que AM→=au⃗=av⃗\overrightarrow{AM}=a\vec u=a\vec v.
Il existe des réels a,ba,b tels que AM→\overrightarrow{AM} soit orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v.
Il existe un réel aa tel que AM→=au⃗\overrightarrow{AM}=a\vec u.
Il existe des réels a,ba,b tels que AM→=au⃗+bv⃗\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v.

Il existe des réels $$a,b$$ tels que $$\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v$$.

Explication

Tout déplacement depuis AA vers un point du plan est une combinaison linéaire de ses deux directions indépendantes. Une seule direction ne décrit qu’une droite, l’orthogonalité impose une autre condition et l’égalité des deux multiples contredit leur non-colinéarité.

24. Un plan est dirigé par u⃗=(1,0,1)\vec u=(1,0,1) et v⃗=(0,1,1)\vec v=(0,1,1). Une droite a pour vecteur directeur w⃗=(2,−1,1)\vec w=(2,-1,1). Que peut-on conclure sur la relation entre la droite et le plan ?

La droite est parallèle au plan, car w⃗\vec w est égal à u⃗+v⃗\vec u+\vec v.
La droite est parallèle au plan, car w⃗=2u⃗−v⃗\vec w=2\vec u-\vec v.
La droite n’est pas parallèle au plan, car w⃗\vec w n’est pas perpendiculaire à u⃗\vec u et v⃗\vec v.
La droite n’est pas parallèle au plan, car w⃗\vec w n’est pas colinéaire à u⃗\vec u.

La droite est parallèle au plan, car $$\vec w=2\vec u-\vec v$$.

Explication

Comme 2u⃗−v⃗=(2,−1,1)=w⃗2\vec u-\vec v=(2,-1,1)=\vec w, le vecteur directeur de la droite est une combinaison linéaire des deux directions du plan ; la droite est donc parallèle au plan. La colinéarité avec une seule direction n’est pas requise, et ni l’égalité à u⃗+v⃗\vec u+\vec v ni la perpendicularité ne constituent le critère.

25. Le plan PP est dirigé par u⃗=(1,0,0)\vec u=(1,0,0) et v⃗=(0,1,0)\vec v=(0,1,0). Le plan P′P' est dirigé par u⃗′=(1,1,0)\vec u'=(1,1,0) et v⃗′=(0,0,1)\vec v'=(0,0,1). Les plans sont-ils parallèles ?

Non, car u⃗′\vec u' et u⃗\vec u ne sont pas colinéaires.
Non, car v⃗′\vec v' n’est pas coplanaire avec u⃗\vec u et v⃗\vec v.
Oui, car chaque plan possède un vecteur directeur de composante nulle.
Oui, car u⃗′\vec u' est coplanaire avec u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Non, car $$\vec v'$$ n’est pas coplanaire avec $$\vec u$$ et $$\vec v$$.

Explication

Pour que les plans soient parallèles, chacun des deux vecteurs directeurs de P′P' doit être coplanaire avec les deux directions de PP. Or v⃗′=(0,0,1)\vec v'=(0,0,1) ne l’est pas, puisque les vecteurs de PP engendrent le plan z=0z=0 ; vérifier seulement u⃗′\vec u' ou exiger la colinéarité de deux vecteurs correspondants ne suffit pas.

26. Dans un repère, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} valent respectivement (2,−1,3)(2,-1,3) et (6,−3,9)(6,-3,9). Quelle conclusion peut-on tirer sur les points AA, BB et CC ?

Ils sont coplanaires, mais leur alignement ne peut pas être établi.
Ils sont alignés, car AC→=3AB→\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}.
Ils ne sont pas alignés, car les coordonnées des vecteurs sont différentes.
Ils sont alignés, car AB→=3AC→\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}.

Ils sont alignés, car $$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$$.

Explication

Trois points sont alignés si leurs vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires ; ici, AC→=3AB→\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}. L’inversion du rapport donnerait AB→=3AC→\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}, ce qui est faux, et des coordonnées différentes n’empêchent pas la proportionnalité.

27. Les points A,B,CA,B,C ne sont pas alignés. Pour vérifier si un point DD appartient au plan (ABC)(ABC), que faut-il chercher ?

Deux vecteurs directeurs colinéaires parmi les droites considérées.
Deux réels égaux x=yx=y tels que AD→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.
Un réel kk tel que AD→=kAB→\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}.
Deux réels x,yx,y tels que AD→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.

Deux réels $$x,y$$ tels que $$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$$.

Explication

Comme A,B,CA,B,C ne sont pas alignés, leurs deux vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} dirigent le plan ; l’appartenance de DD se vérifie en exprimant AD→\overrightarrow{AD} comme leur combinaison linéaire. Une proportion unique ne teste qu’une direction, et la méthode n’impose pas que les deux coefficients soient égaux.

Révisez avec les flashcards

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Quelles caractéristiques définissent un vecteur de l’espace ?

Sa direction, son sens et sa norme.

Quelle propriété vérifie la relation de Chasles dans l’espace ?

Les opérations vectorielles suivent les mêmes règles que dans le plan.

Quand deux vecteurs de l’espace sont-ils colinéaires ?

Lorsque l’un est un multiple réel de l’autre.

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