QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (10 questions)

Question 1

1. Quelle caractéristique d’un vecteur correspond à la longueur du segment orienté qui le représente ?

Sa direction

Son sens

Son point d’origine

Sa norme

Explication

La norme d’un vecteur est la longueur du segment orienté qui le représente. La direction et le sens décrivent son orientation, tandis que le point d’origine dépend du représentant choisi.

Answer

Ils sont colinéaires et de sens opposés.

Answer

Les droites $$(AB)$$ et $$(CD)$$ sont parallèles ou confondues.

Answer

Chaque vecteur admet une seule écriture comme combinaison des trois vecteurs de base.

Answer

$$(1;1;1)$$

Answer

Elles permettent d’exprimer le vecteur reliant l’origine au point comme combinaison des vecteurs de base.

Answer

La colinéarité exige des coordonnées proportionnelles, tandis que l’égalité exige des coordonnées correspondantes égales.

Answer

Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires et forment une base de l’espace.

Answer

Chercher deux réels $$x,y$$ tels que $$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$$.

Answer

Ils sont parallèles entre eux.

Question 2

2. Un vecteur $\vec{u}$ est non nul et $\vec{v}= -3\vec{u}$ . Quelle relation existe entre ces deux vecteurs ?

Ils sont orthogonaux et de sens opposés.

Ils sont colinéaires et de sens opposés.

Ils sont égaux et de même sens.

Ils sont colinéaires et de même sens.

Explication

Un vecteur est colinéaire à tout multiple réel de l’autre ; comme le coefficient $-3$ est négatif, leurs sens sont opposés. La colinéarité n’implique pas l’égalité, et le signe du coefficient n’indique pas une orthogonalité.

Question 3

3. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont distincts, ainsi que $C$ et $D$ . On sait que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Les vecteurs

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{CD}

sont égaux.

Les points

A

,

B

et

C

sont alignés.

Les droites

(AB)

et

(CD)

sont parallèles ou confondues.

Les droites

(AB)

et

(CD)

sont sécantes en

C

.

Explication

La colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ caractérise le parallélisme des droites correspondantes, qu’elles soient confondues ou strictement parallèles. L’alignement de $A,B,C$ exige la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ; la colinéarité ne signifie pas que les vecteurs sont égaux.

Question 4

4. Dans une base de l’espace, que signifie le fait que les coordonnées d’un vecteur soient uniques ?

Chaque vecteur admet une seule écriture comme combinaison des trois vecteurs de base.

Chaque vecteur peut être représenté par un seul point de l’espace.

Les trois vecteurs de base ont nécessairement la même norme.

Tout vecteur de la base est une combinaison des deux autres.

Explication

L’unicité signifie qu’un vecteur s’écrit d’une seule façon sous la forme $u=xi+yj+zk$ , ce qui détermine un unique triplet de coordonnées. Le fait que les vecteurs de base aient la même norme n’est pas requis pour former une base.

Question 5

5. Dans le repère d’un cube d’arête 1 défini par $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ , quelles sont les coordonnées du sommet $G$ ?

(1;1;0)

(0;1;1)

(1;0;1)

(1;1;1)

Explication

Les trois coordonnées de $G$ sont égales à 1, car il se trouve à une arête de longueur 1 de $A$ dans chacune des trois directions de base. Les coordonnées $(1;1;0)$ correspondent au sommet $C$ , situé dans le plan de base du cube.

Question 6

6. Quel est le rôle de l’origine et de la base dans un repère de l’espace pour déterminer les coordonnées d’un point ?

Elles permettent de calculer la distance entre deux points sans connaître leurs coordonnées.

Elles servent à vérifier que trois points appartiennent à un même plan.

Elles définissent les directions des axes sans fixer de point de référence.

Elles permettent d’exprimer le vecteur reliant l’origine au point comme combinaison des vecteurs de base.

Explication

Les coordonnées d’un point sont les coefficients qui expriment le vecteur allant de l’origine à ce point dans la base choisie. La distance entre deux points peut être calculée à partir de leurs coordonnées, mais ce n’est pas la fonction de l’origine et de la base.

Question 7

7. En coordonnées, quelle différence distingue le test de colinéarité de l’égalité de deux vecteurs ?

La colinéarité exige des coordonnées égales, tandis que l’égalité exige seulement des coordonnées proportionnelles.

La colinéarité exige des coordonnées proportionnelles, tandis que l’égalité exige des coordonnées correspondantes égales.

La colinéarité compare les normes des vecteurs, tandis que l’égalité compare leurs directions et leurs sens.

La colinéarité se teste avec deux coordonnées, tandis que l’égalité se teste avec la troisième coordonnée.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire qu’un même réel multiplie chacune des coordonnées de l’un pour obtenir celles de l’autre. Des coordonnées correspondantes égales caractérisent l’égalité des vecteurs, et non la colinéarité en général.

Question 8

8. On cherche à vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en exprimant le troisième comme combinaison linéaire des deux premiers non colinéaires. Quelle conséquence a l’absence de solution au système obtenu ?

Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires et forment une base de l’espace.

Les coordonnées du troisième vecteur sont proportionnelles à celles du premier.

Les trois vecteurs sont coplanaires, mais le troisième est nul.

Les deux premiers vecteurs sont colinéaires et définissent une direction unique.

Explication

Sans solution, le troisième vecteur ne peut pas s’écrire comme combinaison des deux premiers : il n’appartient donc pas à leur plan, et les trois vecteurs forment une base de l’espace. Une solution, contrairement à ce que suggère un distracteur, établirait leur coplanarité.

Question 9

9. Pour vérifier si quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires, avec $A,B,C$ non alignés, quelle démarche vectorielle peut-on utiliser ?

Vérifier que

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{AC}

sont colinéaires.

Vérifier que

\overrightarrow{AD}

et

\overrightarrow{AC}

ont la même norme.

Chercher deux réels

x,y

tels que

\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}

.

Chercher un réel

k

tel que

\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}

.

Explication

Comme $A,B,C$ ne sont pas alignés, leurs vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dirigent le plan $(ABC)$ ; exprimer $\overrightarrow{AD}$ comme leur combinaison linéaire permet de vérifier que $D$ appartient à ce plan. La colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ indiquerait plutôt que les trois points de référence sont alignés.

Question 10

10. Quelle propriété caractérise deux plans parallèles à un même troisième plan ?

Ils sont parallèles entre eux.

Ils se coupent selon une droite commune.

Ils contiennent des droites sécantes parallèles deux à deux.

Ils sont nécessairement confondus avec le troisième plan.

Explication

Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux. La présence de droites sécantes parallèles dans les plans relève d’un autre critère de parallélisme.

QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique d’un vecteur correspond à la longueur du segment orienté qui le représente ?

2. Un vecteur $\vec{u}$ est non nul et $\vec{v}= -3\vec{u}$ . Quelle relation existe entre ces deux vecteurs ?

3. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont distincts, ainsi que $C$ et $D$ . On sait que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Quelle conclusion peut-on tirer ?

4. Dans une base de l’espace, que signifie le fait que les coordonnées d’un vecteur soient uniques ?

5. Dans le repère d’un cube d’arête 1 défini par $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ , quelles sont les coordonnées du sommet $G$ ?

6. Quel est le rôle de l’origine et de la base dans un repère de l’espace pour déterminer les coordonnées d’un point ?

7. En coordonnées, quelle différence distingue le test de colinéarité de l’égalité de deux vecteurs ?

8. On cherche à vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en exprimant le troisième comme combinaison linéaire des deux premiers non colinéaires. Quelle conséquence a l’absence de solution au système obtenu ?

9. Pour vérifier si quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires, avec $A,B,C$ non alignés, quelle démarche vectorielle peut-on utiliser ?

10. Quelle propriété caractérise deux plans parallèles à un même troisième plan ?

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QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique d’un vecteur correspond à la longueur du segment orienté qui le représente ?

2. Un vecteur u⃗\vec{u}u est non nul et v⃗=−3u⃗\vec{v}= -3\vec{u}v=−3u. Quelle relation existe entre ces deux vecteurs ?

3. Les points AAA, BBB et CCC sont distincts, ainsi que CCC et DDD. On sait que AB→\overrightarrow{AB}AB et CD→\overrightarrow{CD}CD sont colinéaires. Quelle conclusion peut-on tirer ?

4. Dans une base de l’espace, que signifie le fait que les coordonnées d’un vecteur soient uniques ?

5. Dans le repère d’un cube d’arête 1 défini par (A;AB→,AD→,AE→)\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)(A;AB,AD,AE), quelles sont les coordonnées du sommet GGG ?

6. Quel est le rôle de l’origine et de la base dans un repère de l’espace pour déterminer les coordonnées d’un point ?

7. En coordonnées, quelle différence distingue le test de colinéarité de l’égalité de deux vecteurs ?

8. On cherche à vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en exprimant le troisième comme combinaison linéaire des deux premiers non colinéaires. Quelle conséquence a l’absence de solution au système obtenu ?

9. Pour vérifier si quatre points A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D sont coplanaires, avec A,B,CA,B,CA,B,C non alignés, quelle démarche vectorielle peut-on utiliser ?

10. Quelle propriété caractérise deux plans parallèles à un même troisième plan ?

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2. Un vecteur $\vec{u}$ est non nul et $\vec{v}= -3\vec{u}$ . Quelle relation existe entre ces deux vecteurs ?

3. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont distincts, ainsi que $C$ et $D$ . On sait que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Dans le repère d’un cube d’arête 1 défini par $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ , quelles sont les coordonnées du sommet $G$ ?

9. Pour vérifier si quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires, avec $A,B,C$ non alignés, quelle démarche vectorielle peut-on utiliser ?