QCM : Géométrie vectorielle dans R2 et R3 — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le barycentre de trois points pondérés, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le point barycentrique vérifie aGA→+bGB→+cGC→=0⃗a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0}.
Le centre de gravité coïncide avec le barycentre lorsque les coefficients sont tous différents.
Le barycentre de trois points est défini par aGA→+bGB→−cGC→=0⃗a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}-c\overrightarrow{GC}=\vec{0}.
Le barycentre coïncide avec le centre de gravité lorsque les trois coefficients sont égaux.
Pour tout point MM, on a aMA→+bMB→+cMC→=(a+b+c)MG→a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}.

Le point barycentrique vérifie $$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0}$$. · Le barycentre coïncide avec le centre de gravité lorsque les trois coefficients sont égaux. · Pour tout point $$M$$, on a $$a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}$$.

Explication

La définition vectorielle impose une combinaison pondérée nulle au point barycentrique. Le centre de gravité ne coïncide avec ce barycentre que lorsque les trois coefficients sont égaux ; l’associativité regroupe les deux premiers points en leur barycentre pondéré.

2. Concernant les combinaisons linéaires et les espaces engendrés dans R2\mathbb{R}^2 :

Deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan vectoriel entier.
Une combinaison linéaire de trois vecteurs s’écrit nécessairement u⃗+v⃗+w⃗\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
Une combinaison de u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w} s’écrit λ1u⃗+λ2v⃗+λ3w⃗\lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}+\lambda_3\vec{w}.
Les coefficients d’une combinaison linéaire sont des nombres réels.
Deux vecteurs colinéaires engendrent une droite vectorielle.

Deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan vectoriel entier. · Une combinaison de $$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$$ s’écrit $$\lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}+\lambda_3\vec{w}$$. · Les coefficients d’une combinaison linéaire sont des nombres réels. · Deux vecteurs colinéaires engendrent une droite vectorielle.

Explication

Une combinaison linéaire utilise des coefficients réels devant les vecteurs, et non une simple addition. Dans R2\mathbb{R}^2, deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan entier, tandis que deux vecteurs colinéaires engendrent une droite vectorielle.

3. Parmi les propositions suivantes concernant les sous-espaces engendrés, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Trois vecteurs non coplanaires engendrent l’espace vectoriel R3\mathbb{R}^3.
La combinaison recherchée doit reproduire les coordonnées du vecteur étudié.
Deux vecteurs non colinéaires engendrent un plan vectoriel dans R3\mathbb{R}^3.
L’appartenance d’un vecteur se teste en recherchant des coefficients réels adaptés.
Trois vecteurs coplanaires engendrent nécessairement tout l’espace R3\mathbb{R}^3.

Trois vecteurs non coplanaires engendrent l’espace vectoriel $$\mathbb{R}^3$$. · La combinaison recherchée doit reproduire les coordonnées du vecteur étudié. · Deux vecteurs non colinéaires engendrent un plan vectoriel dans $$\mathbb{R}^3$$. · L’appartenance d’un vecteur se teste en recherchant des coefficients réels adaptés.

Explication

Dans R3\mathbb{R}^3, trois vecteurs non coplanaires engendrent l’espace entier, tandis que deux vecteurs non colinéaires déterminent seulement un plan vectoriel. La recherche d’une combinaison reproduisant les coordonnées permet de tester l’appartenance à un sous-espace engendré.

4. Un vecteur appartient-il au sous-espace engendré par des vecteurs donnés lorsque :

Les coefficients recherchés doivent être des nombres complexes.
La recherche porte sur une expression pondérée des vecteurs générateurs.
Des coefficients réels permettent de reproduire ses coordonnées par combinaison linéaire.
Il suffit d’additionner les vecteurs générateurs sans introduire de coefficients.
Les coordonnées obtenues par combinaison coïncident avec celles du vecteur étudié.

La recherche porte sur une expression pondérée des vecteurs générateurs. · Des coefficients réels permettent de reproduire ses coordonnées par combinaison linéaire. · Les coordonnées obtenues par combinaison coïncident avec celles du vecteur étudié.

Explication

Pour déterminer l’appartenance à un sous-espace engendré, il faut chercher des coefficients réels dont la combinaison des vecteurs donnés reproduit les coordonnées du vecteur considéré. Une addition sans coefficients variables ne constitue pas la méthode générale.

5. Concernant la norme euclidienne et le produit scalaire :

La norme euclidienne représente une longueur positive.
Le produit scalaire peut être positif, nul ou négatif.
La norme euclidienne d’un vecteur se calcule par u1+u2+u3u_1+u_2+u_3.
Le produit scalaire possède toujours une valeur strictement positive.
Pour u⃗(u1,u2,u3)\vec{u}(u_1,u_2,u_3), on a ∥u⃗∥=u12+u22+u32\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.

La norme euclidienne représente une longueur positive. · Le produit scalaire peut être positif, nul ou négatif. · Pour $$\vec{u}(u_1,u_2,u_3)$$, on a $$\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$$.

Explication

La norme euclidienne en dimension trois est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées. Elle représente une longueur positive, contrairement au produit scalaire qui peut prendre des valeurs positives, nulle ou négatives.

6. Quelles sont les réponses exactes au sujet du produit scalaire de deux vecteurs ?

Pour u⃗(u1,u2)\vec{u}(u_1,u_2) et v⃗(v1,v2)\vec{v}(v_1,v_2), on a u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
L’identité de polarisation s’écrit ⟨u⃗,v⃗⟩=12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2).
On peut aussi écrire u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗^)\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}).
L’identité de polarisation utilise ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 à la place de ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u}-\vec{v}\|^2.
L’identité de polarisation utilise ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u}-\vec{v}\|^2.

Pour $$\vec{u}(u_1,u_2)$$ et $$\vec{v}(v_1,v_2)$$, on a $$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2$$. · L’identité de polarisation s’écrit $$\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$$. · On peut aussi écrire $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$$. · L’identité de polarisation utilise $$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2$$.

Explication

Le produit scalaire en dimension deux se calcule par la somme des produits des coordonnées et aussi par le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle. L’identité de polarisation utilise la distance vectorielle ∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u}-\vec{v}\| et non celle de la somme.

7. Concernant le produit vectoriel et le produit mixte :

Le produit mixte de trois vecteurs de R3\mathbb{R}^3 est un réel.
Le produit mixte de trois vecteurs de R3\mathbb{R}^3 est un vecteur de R3\mathbb{R}^3.
Le produit vectoriel s’obtient par le déterminant de trois vecteurs de R3\mathbb{R}^3.
Le produit vectoriel de deux vecteurs de R3\mathbb{R}^3 est un réel.
Le produit vectoriel de deux vecteurs de R3\mathbb{R}^3 est un vecteur de R3\mathbb{R}^3.

Le produit mixte de trois vecteurs de $$\mathbb{R}^3$$ est un réel. · Le produit vectoriel de deux vecteurs de $$\mathbb{R}^3$$ est un vecteur de $$\mathbb{R}^3$$.

Explication

La formule du produit vectoriel donne trois coordonnées, donc un vecteur de R3\mathbb{R}^3. Le produit mixte est défini par un produit scalaire et correspond au déterminant, donc c’est un réel.

8. Parmi les propositions suivantes concernant ces deux opérations, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La troisième coordonnée de u⃗∧v⃗\vec{u}\wedge\vec{v} vaut u1v2−u2v3u_1v_2-u_2v_3.
Le produit mixte est représenté par un vecteur de R3\mathbb{R}^3.
La première coordonnée de u⃗∧v⃗\vec{u}\wedge\vec{v} vaut u2v3−u3v2u_2v_3-u_3v_2.
Le produit mixte s’écrit u⃗⋅(v⃗∧w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w}).
La deuxième coordonnée de u⃗∧v⃗\vec{u}\wedge\vec{v} vaut u3v1−u1v3u_3v_1-u_1v_3.

La première coordonnée de $$\vec{u}\wedge\vec{v}$$ vaut $$u_2v_3-u_3v_2$$. · Le produit mixte s’écrit $$\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})$$. · La deuxième coordonnée de $$\vec{u}\wedge\vec{v}$$ vaut $$u_3v_1-u_1v_3$$.

Explication

Les coordonnées du produit vectoriel sont u2v3−u3v2u_2v_3-u_3v_2, u3v1−u1v3u_3v_1-u_1v_3 et u1v2−u2v1u_1v_2-u_2v_1. Le produit mixte est le réel u⃗⋅(v⃗∧w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w}), égal au déterminant associé.

9. À propos des équations de droites et de plans, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Un plan de R3\mathbb{R}^3 s’écrit sous la forme ax+by=cax+by=c.
Une droite de R2\mathbb{R}^2 peut s’écrire sous la forme ax+by=cax+by=c.
Un plan de R3\mathbb{R}^3 peut s’écrire sous la forme ax+by+cz=dax+by+cz=d.
Une droite de R2\mathbb{R}^2 peut s’écrire sous la forme y=mx+py=mx+p.
Une droite de R2\mathbb{R}^2 s’écrit sous la forme ax+by+cz=dax+by+cz=d.

Une droite de $$\mathbb{R}^2$$ peut s’écrire sous la forme $$ax+by=c$$. · Un plan de $$\mathbb{R}^3$$ peut s’écrire sous la forme $$ax+by+cz=d$$. · Une droite de $$\mathbb{R}^2$$ peut s’écrire sous la forme $$y=mx+p$$.

Explication

Une droite du plan peut être décrite par ax+by=cax+by=c ou y=mx+py=mx+p. Un plan de l’espace possède une équation ax+by+cz=dax+by+cz=d, avec trois variables.

10. Les expressions vectorielles peuvent être transformées en lieux géométriques par les démarches suivantes :

Réécrire l’expression vectorielle à l’aide d’un barycentre.
Identifier une distance constante dans l’expression obtenue.
Remplacer chaque vecteur par une équation de plan dans R3\mathbb{R}^3.
Reconnaître une égalité de distances entre points.
Identifier une direction fixe imposée par la relation.

Réécrire l’expression vectorielle à l’aide d’un barycentre. · Identifier une distance constante dans l’expression obtenue. · Reconnaître une égalité de distances entre points. · Identifier une direction fixe imposée par la relation.

Explication

La transformation en lieu géométrique consiste notamment à introduire un barycentre, puis à reconnaître une distance constante, une égalité de distances ou une direction fixe. Une équation cartésienne spécifique ne constitue pas la méthode générale décrite.

11. Concernant la résolution d’une relation vectorielle, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa méthode ?

La relation vectorielle conduit à un système d’équations réelles.
La résolution du système fournit les inconnues recherchées.
Les vecteurs sont d’abord écrits à l’aide de leurs coordonnées.
La relation vectorielle se résout en comparant les longueurs des vecteurs.
La méthode nécessite de résoudre séparément les équations obtenues.

La relation vectorielle conduit à un système d’équations réelles. · La résolution du système fournit les inconnues recherchées. · Les vecteurs sont d’abord écrits à l’aide de leurs coordonnées.

Explication

La résolution d’une relation vectorielle passe par l’écriture des vecteurs en coordonnées, puis par l’obtention et la résolution d’un système réel. Une recherche directe d’un déterminant ne correspond pas à la procédure générale indiquée.

12. Concernant la colinéarité et l’engendrement par des vecteurs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Les vecteurs (3,−2)(3,-2) et (−4,1)(-4,1) engendrent R2\mathbb{R}^2.
L’égalité u⃗=λv⃗\vec{u}=\lambda\vec{v} doit être vérifiée sur toutes les coordonnées.
Deux vecteurs colinéaires de R3\mathbb{R}^3 doivent avoir des normes égales.
La colinéarité de deux vecteurs de R3\mathbb{R}^3 se teste avec un réel λ\lambda.
Les vecteurs (3,−2)(3,-2) et (−4,1)(-4,1) engendrent une droite de R2\mathbb{R}^2.

Les vecteurs $$(3,-2)$$ et $$(-4,1)$$ engendrent $$\mathbb{R}^2$$. · L’égalité $$\vec{u}=\lambda\vec{v}$$ doit être vérifiée sur toutes les coordonnées. · La colinéarité de deux vecteurs de $$\mathbb{R}^3$$ se teste avec un réel $$\lambda$$.

Explication

Deux vecteurs de R3\mathbb{R}^3 sont colinéaires lorsqu’il existe un réel λ\lambda tel que l’un soit égal à λ\lambda fois l’autre. Cette égalité doit être vérifiée sur toutes les coordonnées; les vecteurs proposés engendrent R2\mathbb{R}^2 lorsque toute combinaison cible est réalisable.

13. Concernant le critère d’orthogonalité de deux vecteurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Un produit scalaire non nul suffit à établir la colinéarité de deux vecteurs.
Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire égal à zéro.
La colinéarité de deux vecteurs correspond à un produit vectoriel nul dans l’espace.
Deux vecteurs orthogonaux ont un produit vectoriel égal à zéro dans l’espace.
La colinéarité de deux vecteurs correspond à un produit scalaire nul.

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire égal à zéro. · La colinéarité de deux vecteurs correspond à un produit vectoriel nul dans l’espace.

Explication

Le produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs. Le produit vectoriel nul dans l’espace caractérise, lui, la colinéarité ; les autres affirmations confondent donc ces notions avec des propriétés non établies ici.

14. À propos des propriétés métriques d’un tétraèdre régulier :

Deux faces adjacentes sont orthogonales dans un tétraèdre régulier.
Chaque médiane est orthogonale à la face qui lui est opposée.
Deux arêtes opposées quelconques sont orthogonales dans un tétraèdre régulier.
Le centre de la sphère circonscrite est situé au milieu d’une arête.
Le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdre.

Chaque médiane est orthogonale à la face qui lui est opposée. · Deux arêtes opposées quelconques sont orthogonales dans un tétraèdre régulier. · Le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdre.

Explication

Dans un tétraèdre régulier, toute paire d’arêtes opposées est orthogonale, chaque médiane est orthogonale à la face opposée et le centre de la sphère circonscrite coïncide avec le centre de gravité. L’affirmation sur les faces adjacentes ne correspond pas à la propriété donnée.

15. Un parallélépipède est engendré par trois arêtes de vecteurs directeurs associés. Quelles propositions sont exactes ?

Son volume est la valeur absolue du produit mixte des trois vecteurs.
Son volume est égal au produit mixte orienté sans prendre sa valeur absolue.
Son volume est donné par le produit scalaire des trois vecteurs directeurs.
Le produit mixte orienté des trois vecteurs peut être négatif.
Son volume est une quantité positive, indépendante de l’orientation choisie.

Son volume est la valeur absolue du produit mixte des trois vecteurs. · Le produit mixte orienté des trois vecteurs peut être négatif. · Son volume est une quantité positive, indépendante de l’orientation choisie.

Explication

Le volume du parallélépipède est la valeur absolue du produit mixte des vecteurs directeurs de ses arêtes, ce qui garantit une valeur positive. Le produit mixte orienté peut toutefois être négatif, et le volume ne se réduit ni à un produit scalaire ni à une valeur signée.

16. Concernant le critère de coplanarité de quatre points, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Une relation affine entre leurs vecteurs de position caractérise leur coplanarité.
Un produit mixte nul peut tester la coplanarité de quatre points.
Un produit mixte non nul constitue un critère de coplanarité des quatre points.
La coplanarité de quatre points se teste par une relation linéaire sans terme affine.
Une combinaison affine peut servir à vérifier que quatre points sont coplanaires.

Une relation affine entre leurs vecteurs de position caractérise leur coplanarité. · Un produit mixte nul peut tester la coplanarité de quatre points. · Une combinaison affine peut servir à vérifier que quatre points sont coplanaires.

Explication

La coplanarité de quatre points se traduit par une relation affine entre leurs vecteurs de position. Elle peut notamment être testée par l’annulation d’un produit mixte ou par une combinaison affine ; un produit mixte non nul indique au contraire une configuration non coplanaire.

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Qu'est-ce que le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c) ?

C'est l'unique point G vérifiant aGA→+bGB→+cGC→=0⃗a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0}.

Quelle relation vectorielle lie les points M et G au barycentre ?

Pour tout M, aMA→+bMB→+cMC→=(a+b+c)MG→a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}.

Quelle condition caractérise G comme barycentre de (A,a),(B,b),(C,c) via D=bar((A,a),(B,b)) ?

G=bar((A,a),(B,b),(C,c)) si et seulement si G=bar((D,a+b),(C,c)).

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