QCM : Limites de fonctions (16 questions)

Explication

Une limite finie signifie que les images de la fonction se rapprochent du nombre réel $l$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Cette notion n’implique pas que la fonction prenne effectivement la valeur $l$.

Explication

Une limite finie égale à $3$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ donne l’asymptote horizontale $y=3$. Une équation de la forme $x=3$ décrit une droite verticale, associée à un autre type de comportement limite.

Explication

Une limite égale à $-\infty$ signifie que les images deviennent négatives sans borne lorsque $x$ tend vers $a$. Elle ne décrit pas une valeur exacte prise par la fonction en $a$.

Explication

Lorsqu’une fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ au voisinage de $a$, la droite $x=a$ est une asymptote verticale. Ici, la valeur de $a$ est $2$, d’où la droite $x=2$.

Explication

Cette limite indique que les images de la fonction croissent sans borne lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Une limite égale à $-\infty$ correspondrait au contraire à des images négatives sans borne.

Explication

L’expression $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ associe des valeurs de $x$ très négatives à des images qui deviennent négatives sans borne. Les trois autres expressions modifient soit la direction de variation de $x$, soit le signe de la limite.

Explication

La fonction inverse possède un dénominateur égal à $x$, donc elle n’est pas définie lorsque $x=0$ et son domaine est $\mathbb{R}^*$. L’assimiler à la fonction carré conduirait à inclure à tort zéro dans son domaine.

Explication

Lorsque $x\to 0^+$, le quotient $\frac{1}{x}$ devient arbitrairement grand et positif, donc sa limite est $+\infty$. La limite $-\infty$ correspond au comportement lorsque $x\to 0^-$.

Explication

Pour $x\to +\infty$ ou $x\to -\infty$, $\frac{1}{x}$ tend vers zéro, ce qui fait de $y=0$ une asymptote horizontale. La droite $x=0$ est, quant à elle, une asymptote verticale.

Explication

La fonction $\ln x$ est définie pour $x>0$, tend vers $-\infty$ lorsque $x\to 0^+$ et vers $+\infty$ lorsque $x\to +\infty$. Le comportement vers zéro ne doit donc pas être confondu avec celui d’une fonction qui aurait une limite nulle.

Explication

La somme $+\infty+(-\infty)$ est une forme indéterminée : les deux comportements infinis se compensent potentiellement. En revanche, $+\infty+(+\infty)$ permet de conclure à une limite égale à $+\infty$.

Explication

Le produit $+\infty\times 0$ est indéterminé, car la croissance du premier facteur et la diminution du second doivent être comparées. Le produit $+\infty\times(+\infty)$ donne en revanche $+\infty$.

Explication

À $+\infty$ comme à $-\infty$, le terme de plus haut degré domine les autres termes et détermine la limite du polynôme. Le terme constant ne contrôle donc pas le comportement à l’infini.

Explication

Les termes dominants du numérateur et du dénominateur sont respectivement $3x^2$ et $x^2$, dont le quotient vaut $3$. La fonction possède donc une limite finie égale à $3$ aux deux infinis, et non une divergence vers l’infini.

Explication

La règle de l’inverse permet de calculer la limite du quotient à partir des limites de ses deux parties lorsque le dénominateur n’a pas une limite nulle de manière indéterminée. Une forme où le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro constitue au contraire une situation indéterminée qui demande une autre analyse.

Explication

À gauche de $3$, la quantité $3-x$ est positive et tend vers zéro, donc son inverse tend vers $+\infty$; à droite, elle est négative et son inverse tend vers $-\infty$. L’inversion des signes entre les deux côtés est donc nécessaire, contrairement aux réponses qui attribuent le même comportement aux deux limites.