Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites finies à l’infini
2. Limites infinies en un réel
3. Limites infinies à l’infini
4. Limites des fonctions de référence
5. Sommes et produits de limites
6. Limites polynomiales et rationnelles
7. Limite d’un quotient

📖 1. Limites finies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie à l’infini : Une fonction f admet pour limite finie l lorsque x tend vers +∞ si ses images f(x) se rapprochent du nombre réel l.

📝 Points essentiels

📌 Si $\lim_{x\to +\infty} f(x)=l$, alors la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de +∞.

💡 Astuce mémo

f(x) → l quand x → +∞ → y = l est asymptote horizontale

📖 2. Limites infinies en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en un réel : Lorsque f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers le réel a, la limite de f en a est respectivement +∞ ou −∞.

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe.

Compléments

📌 Lorsque les comportements diffèrent de part et d’autre de a, il faut distinguer les limites à gauche x → a− et à droite x → a+.

💡 Astuce mémo

x = a est verticale, tandis que y = l est horizontale

📖 3. Limites infinies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie à l’infini : Une fonction peut avoir pour limite +∞ ou −∞ lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞, selon que ses images f(x) deviennent respectivement arbitrairement grandes ou négatives.

📝 Points essentiels

📌 Les quatre situations étudiées sont $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.

📖 4. Limites des fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction inverse est définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$, c’est-à-dire que zéro est exclu de son domaine.

★ À maîtriser

• Pour la fonction inverse, $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$, donc x = 0 est une asymptote verticale.

• Pour la fonction inverse, $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0^+$ et $\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0^-$, donc y = 0 est une asymptote horizontale.

• La fonction exponentielle est définie sur ℝ et vérifie $\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}e^x=0^+$, avec y = 0 comme asymptote horizontale au voisinage de −∞.

• La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞[ et vérifie $\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$.

Compléments

• Pour la fonction carré définie sur ℝ, $\lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$.

• La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[ et vérifie $\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

La courbe de 1/x s’approche des axes x = 0 et y = 0

📖 5. Sommes et produits de limites

★ À maîtriser

📌 Si les limites de f et g existent, la limite de leur somme est la somme des limites lorsque l’opération n’est pas une forme indéterminée.

📌 La limite d’un produit est le produit des limites lorsque les signes et les valeurs permettent de conclure, mais certaines situations donnent une forme indéterminée.

Compléments

• Dans l’exemple $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$, on obtient $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$.

• Pour $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$ lorsque x tend vers +∞, les deux facteurs tendent vers +∞ et donc $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.

💡 Astuce mémo

∞ − ∞ est indéterminée, alors que ∞ + ∞ donne ∞

📖 6. Limites polynomiales et rationnelles

★ À maîtriser

📌 Une fonction polynôme a, à +∞ ou à −∞, la même limite que son terme de plus haut degré.

📌 Une fonction rationnelle a, à l’infini, la même limite que le quotient de ses termes de plus hauts degrés.

Compléments

• Pour $f(x)=3x^2-2x+5$, le terme dominant est 3x² et $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ ainsi que $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$.

• Pour $f(x)=\frac{3x^2-2x+5}{x^2-2}$, le quotient des termes dominants vaut 3, donc la droite y = 3 est une asymptote horizontale au voisinage de +∞ et de −∞.

• Pour $g(x)=\frac{5x^2+x-1}{x-4}$, le terme dominant donne $\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Polynôme : plus haut degré ; rationnelle : quotient des plus hauts degrés

📖 7. Limite d’un quotient

★ À maîtriser

📌 La limite d’un quotient se calcule à partir des limites du numérateur et du dénominateur en appliquant la règle de l’inverse, lorsque le dénominateur ne tend pas vers zéro de façon indéterminée.

• Pour $f(x)=\frac{1}{3-x}$, on a $\lim_{x\to 3^-}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to 3^+}f(x)=-\infty$.

Compléments

• Pour étudier $\lim_{x\to 3}\frac{1}{3-x}$, on détermine d’abord le signe de 3 − x à gauche et à droite de 3, puis on applique la limite de l’inverse.