Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans R2 et R3

📋 Plan du Cours

1. Barycentres et associativité
2. Combinaisons et sous-espaces vectoriels
3. Norme et produit scalaire
4. Produit vectoriel et produit mixte
5. Droites plans et lieux géométriques
6. Résolution de relations vectorielles
7. Orthogonalité et géométrie métrique
8. Volumes et coplanarité

📖 1. Barycentres et associativité

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : Le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) est l’unique point G tel que $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, ou, pour tout point M, $a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}.$

★ À maîtriser

📌 Si D=bar((A,a),(B,b)), alors G=bar((A,a),(B,b),(C,c)) si et seulement si G=bar((D,a+b),(C,c)).

Compléments

• Dans un parallélogramme, les deux diagonales ont le même milieu, et ce point est aussi l’isobarycentre des quatre sommets.

💡 Astuce mémo

Regrouper les points → regrouper les masses

📖 2. Combinaisons et sous-espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire des vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} est une expression $\lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}+\lambda_3\vec{w}$ où les coefficients \lambda_1, \lambda_2 et \lambda_3 sont réels.

★ À maîtriser

📌 Dans R2, deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan entier, tandis que deux vecteurs colinéaires engendrent une droite vectorielle.

📌 Dans R3, trois vecteurs non coplanaires engendrent l’espace entier, tandis que deux vecteurs non colinéaires engendrent seulement un plan vectoriel.

Compléments

📌 Pour déterminer si un vecteur appartient au sous-espace engendré par des vecteurs donnés, il faut rechercher des coefficients réels dont la combinaison linéaire reproduit ses coordonnées.

💡 Astuce mémo

Colinéaires : droite ; indépendants : plan ou espace

📖 3. Norme et produit scalaire

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme euclidienne d’un vecteur \vec{u}(u_1,u_2,u_3) vérifie $\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.$

📐 Formule — Pour \vec{u}(u_1,u_2) et \vec{v}(v_1,v_2), le produit scalaire vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}).$

Compléments

📐 Formule — Pour deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, l’identité $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$ exprime leur produit scalaire à partir de leurs normes.

📖 4. Produit vectoriel et produit mixte

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit vectoriel de \vec{u}(u_1,u_2,u_3) et \vec{v}(v_1,v_2,v_3) est $\vec{u}\wedge\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1).$

📐 Formule — Le produit mixte de trois vecteurs de R3 est le réel $\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})=det(\vec{u},\vec{v},\vec{w}).$

📖 5. Droites plans et lieux géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Une droite de R2 admet une équation de la forme $ax+by=c$ ou $y=mx+p$, tandis qu’un plan de R3 admet une équation de la forme $ax+by+cz=d$.

Compléments

• Les expressions vectorielles des exercices se transforment en lieux géométriques en les réécrivant avec un barycentre, puis en identifiant une distance constante, une égalité de distances ou une direction fixe.

💡 Astuce mémo

Droite dans R2 ; plan dans R3

📖 6. Résolution de relations vectorielles

★ À maîtriser

• Pour résoudre une relation vectorielle, on écrit chaque vecteur par ses coordonnées, on obtient un système d’équations réelles, puis on résout ce système.

Compléments

📌 Pour tester si deux vecteurs de R3 sont colinéaires, il faut rechercher un réel λ tel que l’un soit égal à λ fois l’autre, en vérifiant toutes les coordonnées.

• Les vecteurs de R2 de coordonnées (3,-2) et (-4,1) engendrent R2 lorsque tout vecteur de R2 peut s’écrire comme leur combinaison linéaire.

💡 Astuce mémo

Écrire les coordonnées, résoudre, interpréter

📖 7. Orthogonalité et géométrie métrique

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• Les propriétés métriques du tétraèdre régulier sont: deux arêtes opposées quelconques sont orthogonales, chaque médiane est orthogonale à la face opposée, le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdre

Compléments

• Dans un triangle équilatéral ABC de côté a, si I est le milieu de [BC], alors $\|\overrightarrow{AB}\|=a$ et $\|\overrightarrow{IB}\|=\frac{a}{2}$.

📐 Formule — Dans ce triangle équilatéral, on a $\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{a^2}{2}$ et $\|\overrightarrow{AI}\|^2=\frac{3a^2}{4}.$

📖 8. Volumes et coplanarité

📝 Points essentiels

• Le volume du parallélépipède engendré par trois arêtes est donné par la valeur absolue du produit mixte de leurs vecteurs directeurs.

📌 Quatre points sont coplanaires lorsque leurs vecteurs de position vérifient une relation affine, ce qui peut se tester par un produit mixte nul ou par une combinaison affine.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations vectorielles