Fiche de révision : Statistique descriptive et estimation

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et organisation du cours
2. Données et types de variables
3. Vocabulaire statistique fondamental
4. Indicateurs descriptifs
5. Estimation et intervalles de confiance
6. Représentations graphiques

📖 1. Objectifs et organisation du cours

★ À maîtriser

• L’objectif du cours est de comprendre les statistiques présentées dans des articles de santé-biologie, d’en proposer sur des jeux de données et de les mettre en œuvre puis les interpréter avec R.

Compléments

• 🔄 Le calendrier suit les étapes suivantes:

  1. CM
  2. installation de R et RStudio
  3. TD de démonstration
  4. deux TP de quatre heures
  5. TD de préparation de l’examen

• Pour les étudiants de M1 BS et IDLS, l’évaluation comprend CC1_S à 20 %, CC2 à 20 % et l’examen terminal à 60 % ; pour les L3, elle comprend CC2 à 20 % et l’examen terminal à 30 %, complétés par un projet représentant 50 % du total.

💡 Astuce mémo

CM, installation de R, TD puis TP

📖 2. Données et types de variables

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative nominale décrit des catégories sans ordre naturel, tandis qu’une variable qualitative ordinale décrit des catégories classables naturellement.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs numériques quantifiées, tandis qu’une variable quantitative continue mesure une quantité pouvant varier continûment.

Compléments

• L’appartenance à un groupe comme placebo ou traitement et une variable codée 0 ou 1 sont des variables qualitatives nominales.

💡 Astuce mémo

Qualitatif = catégories ; quantitatif = nombres

📖 3. Vocabulaire statistique fondamental

🔑 Notions clés & Définitions

• Population et échantillon : Ensemble des individus porteurs des caractères étudiés pour la population, et sous-partie de la population totale pour l’échantillon.
• Taille de l’échantillon : Nombre d’individus, noté généralement N ou n, correspondant au nombre de lignes du tableur.
• Série statistique : Suite des valeurs observées d’une caractéristique sur l’échantillon, les valeurs possibles étant appelées modalités.

💡 Astuce mémo

Un tableau : individus en lignes, variables en colonnes

📖 4. Indicateurs descriptifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La moyenne d’un échantillon est $\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_N}{N}$ et elle est sensible aux valeurs extrêmes.
• Médiane : La médiane est le point central de la série ordonnée ; si N=2p+1, c’est le p+1-ième point, et si N=2p, c’est la moyenne des p-ième et p+1-ième points.
• Quantile : Le quantile de niveau α est une valeur telle que 100α % des observations lui sont inférieures, avec α∈[0;1] ; le premier quartile correspond à 25 % et le troisième quartile à 75 %.

★ À maîtriser

• Pour une variable qualitative, les indicateurs principaux sont:
  • l’effectif
  • la fréquence
  • le mode

📐 Formule — La variance corrigée est $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ et l’écart type corrigé est $S=\sqrt{S^2}$ ; ces deux indicateurs sont sensibles aux valeurs extrêmes.

Compléments

📐 Formule — L’étendue est donnée par $\mathrm{étendue}=\max(x)-\min(x)$ et elle est sensible aux valeurs aberrantes.

💡 Astuce mémo

Position : où ? Dispersion : étalement

📖 5. Estimation et intervalles de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance de niveau 1−α est construit pour qu’en répétant l’expérience, une proportion proche de 1−α des intervalles contienne le paramètre théorique.

★ À maîtriser

📌 Dans un modèle probabiliste, l’espérance théorique E[X] est estimée par la moyenne observée, tandis que l’écart type théorique σ(X) est estimé par l’écart type corrigé S.

• Un intervalle de confiance s’écrit sous la forme $[c-h;c+h]$, où c est son centre et h sa demi-longueur.

📐 Formule — Pour une moyenne avec variance inconnue sous un modèle gaussien, l’intervalle est $\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$.

📌 Sans modèle particulier, l’intervalle asymptotique de l’espérance est seulement approximativement valable lorsque la taille de l’échantillon est grande, typiquement n≥30.

Compléments

📐 Formule — Pour une proportion, l’intervalle asymptotique simple est $\hat{p}\pm q_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ et il est très utilisé malgré son caractère asymptotique.

• Pour α=0.05, le quantile normal q1−α/2 vaut 1.96, correspondant à un niveau de confiance de 95 % ; pour α=0.1, il vaut 1.6449, correspondant à 90 %.

💡 Astuce mémo

Répétition des expériences → couverture proche de 1 − α

📖 6. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Boîte à moustaches : Une boîte à moustaches représente principalement les quartiles et la médiane, avec éventuellement la moyenne et des valeurs extrêmes situées au-delà des moustaches selon les conventions.
• Fonction de répartition empirique : La fonction de répartition empirique augmente de 1/N lorsqu’elle rencontre une valeur observée et donne en un point la proportion d’observations inférieures à ce point.
• Histogramme : Un histogramme découpe les valeurs en classes consécutives et construit sur chaque classe un rectangle dont la surface est égale à la fréquence des observations de la classe.

★ À maîtriser

• Les graphiques adaptés aux variables qualitatives ou discrètes comprennent:
  • les diagrammes circulaires
  • les diagrammes en bâtons
  • les diagrammes en bandes

Compléments

📐 Formule — Pour un échantillon de taille n, la fonction de répartition empirique s’écrit $F_n(x)=\frac{1}{n}\#\{i:x_i\le x\}$.

💡 Astuce mémo

Discret : barres ; continu : histogramme

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables et graphiques