Fiche de révision : Grandeurs physiques et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Systèmes d’unités historiques
2. Unités fondamentales du SI
3. Grandeurs scalaires et vectorielles
4. Décomposition et addition vectorielle
5. Vecteurs unitaires et opérations
6. Produits scalaire et vectoriel
7. Applications et division vectorielle

📖 1. Systèmes d’unités historiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système d’unités : Un système d’unités associe à chaque mesure une valeur numérique et une unité appropriée.

★ À maîtriser

• Avant 1960, les deux principaux systèmes d’unités étaient le système britannique et le système français.

• Le système britannique, ou système pied-livre-seconde, utilise le pied pour la longueur, la livre pour la masse et la seconde pour le temps.

📌 Le système français comprend le système cgs, fondé sur le centimètre, le gramme et la seconde, et le système mks, fondé sur le mètre, le kilogramme et la seconde.

Compléments

• Les trois grandeurs fondamentales longueur, masse et temps suffisent pour dériver les autres grandeurs de la mécanique, mais pas celles de l’électricité, de l’optique ou de la thermodynamique.

💡 Astuce mémo

British : pied-livre-seconde, tandis que French : centimètre-gramme-seconde ou mètre-kilogramme-seconde.

📖 2. Unités fondamentales du SI

★ À maîtriser

📐 Formule — La force vérifie $F=ma$ et son unité dérivée est le newton, avec $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\cdot m/s^2}$.

📐 Formule — La pression vérifie $p=F/A$ et s’exprime en pascals, avec $1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N/m^2}$.

• En 1960, les scientifiques du monde entier ont adopté le Système international d’unités, abrégé SI, pour l’usage scientifique international.

• Le SI comprend sept grandeurs fondamentales et sept unités fondamentales permettant de dériver toute autre grandeur physique scientifique.

• Les sept couples grandeur-unité du SI sont:

  • longueur-mètre (m)
  • masse-kilogramme (kg)
  • temps-seconde (s)
  • courant électrique-ampère (A)
  • température-kelvin (K)
  • quantité de matière-mole (mol)
  • intensité lumineuse-candela (cd)

Compléments

• L’aire s’exprime en mètre carré, la masse volumique en kilogramme par mètre cube, la vitesse en mètre par seconde et l’accélération en mètre par seconde carrée.

💡 Astuce mémo

LMT-CAML : longueur, masse, temps, courant, température, amount, lumière.

📖 3. Grandeurs scalaires et vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur scalaire : Grandeur complètement définie par la connaissance de sa seule valeur numérique ou de son module.
• Grandeur vectorielle : Grandeur complètement définie par sa magnitude et sa direction.

★ À maîtriser

• Les exemples de grandeurs scalaires sont:

  • la masse
  • le temps
  • la température
  • la pression
  • la distance
  • la vitesse
  • le travail
  • l’énergie

• Les exemples de grandeurs vectorielles sont:

  • la force
  • le déplacement
  • la vélocité
  • l’accélération
  • le couple
  • la quantité de mouvement linéaire
  • le champ électrique

📌 Deux vecteurs sont parallèles s’ils ont la même direction et sont égaux s’ils ont à la fois la même magnitude et la même direction.

Compléments

📌 Un déplacement est représenté par un segment orienté du point de départ au point d’arrivée, même si la trajectoire réelle de la particule est courbe.

💡 Astuce mémo

Scalaire = combien ; vecteur = combien et dans quelle direction.

📖 4. Décomposition et addition vectorielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un vecteur A faisant un angle θ avec l’axe x, ses composantes sont $A_x=A\cos\theta$ et $A_y=A\sin\theta$.

📐 Formule — La magnitude et la direction d’un vecteur plan vérifient $A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$ et $\theta=\tan^{-1}(A_y/A_x)$.

📐 Formule — Pour $R=A+B$, les composantes du résultant sont $R_x=A_x+B_x$ et $R_y=A_y+B_y$.

• Pour deux forces de 50 N à 45° et de 60 N à 0°, les composantes résultantes sont Rx = 95 N et Ry = 35 N, donnant une force résultante d’environ 100 N orientée à 20°.

Compléments

• Pour additionner graphiquement deux vecteurs, on place l’origine du second à l’extrémité du premier et le vecteur résultant relie l’origine du premier à l’extrémité du second.

💡 Astuce mémo

Projeter, additionner les composantes, recomposer.

📖 5. Vecteurs unitaires et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Vecteur de magnitude 1 et sans unité, utilisé uniquement pour décrire une direction dans l’espace.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un vecteur tridimensionnel s’écrit $A=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}$.

📐 Formule — La somme de deux vecteurs tridimensionnels vérifie $A+B=(A_x+B_x)\mathbf{i}+(A_y+B_y)\mathbf{j}+(A_z+B_z)\mathbf{k}$.

• Les vecteurs unitaires i, j et k pointent respectivement dans les directions positives des axes x, y et z.

Compléments

• Si $A=3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+10\mathbf{k}$ et $B=4\mathbf{i}-4\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, alors $A+B=7\mathbf{i}+\mathbf{j}+8\mathbf{k}$ et $A-B=-\mathbf{i}+9\mathbf{j}+12\mathbf{k}$.

💡 Astuce mémo

i, j, k orientent successivement les axes x, y, z.

📖 6. Produits scalaire et vectoriel

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire vérifie $A\cdot B=AB\cos\phi=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$, où φ est l’angle entre les deux vecteurs.

📐 Formule — La magnitude du produit vectoriel vérifie $|A\times B|=AB\sin\phi$ et représente l’aire du parallélogramme construit sur A et B.

📐 Formule — Les produits vectoriels fondamentaux sont $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$, $\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}$, $\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$, et l’ordre inverse change le signe.

📌 La direction de $A\times B$ est déterminée par la règle de la main droite ou la règle de la vis droite.

📌 Le produit scalaire de deux vecteurs donne un scalaire, tandis que leur produit vectoriel donne un vecteur.

Compléments

📌 Le produit scalaire est commutatif : $A\cdot B=B\cdot A$.

• Pour les vecteurs unitaires, i·i = j·j = k·k = 1 et i·j = j·k = k·i = 0.

💡 Astuce mémo

Point : résultat scalaire et cosinus ; croix : résultat vectoriel et sinus.

📖 7. Applications et division vectorielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Le travail d’une force F sur un déplacement S vérifie $W=F\cdot S$.

📐 Formule — Le couple d’une force F par rapport à une position r vérifie $\tau=r\times F$.

📌 Il n’existe pas de division vectorielle : si un vecteur est divisé par un autre, le résultat est un scalaire obtenu en divisant leurs magnitudes.

Compléments

📐 Formule — La puissance d’une force F appliquée à un objet de vélocité v vérifie $P=F\cdot v$.

📐 Formule — La force magnétique exercée sur une charge en mouvement dans un champ magnétique vérifie $F_m=q\,v\times B$.

📐 Formule — Pour des vecteurs F et a, le rapport de leurs magnitudes s’écrit $m=\frac{|F|}{|a|}=\frac{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$.

💡 Astuce mémo

Force et déplacement → travail ; force et bras de levier → couple.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des produits vectoriels