Fiche de révision : Intégrales généralisées et séries

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et applications réelles
2. Polynômes et divisions euclidiennes
3. Limites et calculs de limites
4. Continuité et dérivabilité
5. Intégrale de Riemann
6. Formules de Taylor et développements limités
7. Développements limités en zéro
8. Opérations sur les développements limités
9. Développements limités en un point ou l’infini
10. Équivalents et notations de Landau
11. Applications des développements limités
12. Intégrales de Riemann généralisées
13. Critères des intégrales généralisées
14. Convergence absolue des intégrales
15. Définition et propriétés des séries
16. Critères pour séries positives
17. Séries absolues et critères avancés
18. Séries alternées et restes

📖 1. Fonctions et applications réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à tout élément x de E un unique élément f(x) de F, où E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Image réciproque : L’image réciproque d’un ensemble B par une fonction f:E→F est l’ensemble $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$.
• Fonction composée : Si f:E→F1 et g:F2→G, alors la composée g∘f est définie sur $f^{-1}(F2)$ par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent, surjective s’il en possède au moins un, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Compléments

📌 Une fonction strictement monotone sur son domaine est injective et sa restriction à son image est une bijection.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un.

📖 2. Polynômes et divisions euclidiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Fonction P:R→R s’il existe n∈N et des coefficients réels a0,…,an avec an≠0 tels que $P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$; n est son degré.
• Racine d’un polynôme : Réel λ tel que $P(\lambda)=0$.

📝 Points essentiels

• Si P et Q sont deux polynômes, alors P+Q, PQ et P∘Q sont des polynômes, avec $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$ et $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.

📌 Pour des polynômes A et B avec B non nul, il existe un unique couple de polynômes Q et R tel que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.

💡 Astuce mémo

Diviser : quotient, reste, degré du reste inférieur.

📖 3. Limites et calculs de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en un point : Une fonction f:D⊂R→R admet ℓ∈R pour limite en a si a est adhérent à D et si, pour tout ε>0, il existe δ>0 tel que $|x-a|\leq\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|\leq\varepsilon$ pour tout x∈D.
• Point adhérent : Un réel a est adhérent à un ensemble D⊂R si tout intervalle [a−δ,a+δ] avec δ>0 rencontre D.

★ À maîtriser

📌 Si f(x)≤g(x)≤h(x) et si f et h ont la même limite finie ℓ au même lieu, alors g a aussi pour limite ℓ.

• Pour α>0 et β>0, l’exponentielle domine les puissances, qui dominent elles-mêmes les logarithmes dans les limites usuelles.

Compléments

• Les formes indéterminées classiques comprennent:
  • (+∞)+(−∞)
  • 0·∞
  • 0/0
  • ∞/∞
  • 1^∞
  • ∞^0
  • 0^0

💡 Astuce mémo

Encadrement par deux limites égales → convergence de la fonction intermédiaire.

📖 4. Continuité et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Fonction f:D⊂R→R en a∈D si la limite de f(x) lorsque x tend vers a existe dans R; cette limite est alors nécessairement f(a).
• Dérivabilité : Une fonction f est dérivable en a si a est non isolé dans son domaine et si la limite $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe dans R; cette limite est f′(a).

★ À maîtriser

📌 Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné admet un minimum global et un maximum global.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe θ∈]a,b[ tel que f′(θ)=0.

Compléments

📐 Formule — Si f est strictement monotone et dérivable en a avec f′(a)≠0, alors sa réciproque vérifie $(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$.

💡 Astuce mémo

Dérivabilité → continuité, mais continuité ne suffit pas à dériver.

📖 5. Intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de Riemann : Pour une subdivision Δ={tk} de [a,b] et des points sk∈[tk,tk+1], la somme de Riemann est $\Sigma(f,\Delta,S)=\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k)f(s_k)$.
• Intégrale de Riemann : Une fonction f:[a,b]→R est Riemann-intégrable si ses sommes de Riemann convergent vers une limite réelle lorsque le diamètre de la subdivision tend vers 0, limite notée $\int_a^b f(t)\,dt$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction monotone ou continue sur [a,b] est Riemann-intégrable sur [a,b].

📌 Si c∈]a,b[, alors $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt$ lorsque les intégrales existent.

📐 Formule — Si F est une primitive de f sur [a,b], alors $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$.

Compléments

📐 Formule — Si f et g sont de classe C1 sur [a,b], l’intégration par parties donne $\int_a^b f'(t)g(t)\,dt=[f(t)g(t)]_a^b-\int_a^b f(t)g'(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Subdivision → points intermédiaires → sommes de Riemann → intégrale.

📖 6. Formules de Taylor et développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de Taylor : Polynôme d’ordre n en 0 d’une fonction f, donné par $T(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$.
• Développement limité : Une fonction f admet un développement limité d’ordre n en 0 s’il existe a0,…,an et ε(x) tendant vers 0 en 0 tels que $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Taylor-Lagrange s’écrit $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta_x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ pour un certain θx situé entre 0 et x.

• Pour tout n∈N, l’exponentielle admet en 0 le développement $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$ avec ε(x)→0 lorsque x→0.

Compléments

📌 Dans les calculs avec ε(x), on peut regrouper les termes qui tendent vers 0, mais on ne peut ni les faire disparaître ni lire les égalités de droite à gauche.

💡 Astuce mémo

Taylor donne une formule avec reste ; un DL isole une partie principale et un reste.

📖 7. Développements limités en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Une écriture $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)$ avec $\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0$, où la partie polynomiale est la partie principale et le dernier terme est le reste.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout $n\in\mathbb N$, on a $e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+x^n\varepsilon(x)$ avec $\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.

📐 Formule — Pour tout $n\in\mathbb N$ et $\alpha\in\mathbb R$, on a $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-(n-1))}{n!}x^n+x^n\varepsilon(x)$ pour $x>-1$.

📌 Si une fonction admet un DL d’ordre n en 0 et vaut en 0, alors son coefficient constant est sa valeur en 0 et, si n>1, son coefficient linéaire est sa dérivée en 0.

Compléments

📌 Une fonction peut admettre un DL d’ordre supérieur à 2 sans être deux fois dérivable en 0, comme la fonction définie par $f(x)=x^3\sin(1/x)$ pour $x\neq0$ et $f(0)=0$.

💡 Astuce mémo

Régularité ⇒ DL, mais DL ⇏ régularité au-delà de l’ordre 1

📖 8. Opérations sur les développements limités

★ À maîtriser

📌 La somme et le produit de deux fonctions admettant respectivement des DL d’ordres n et m admettent un DL d’ordre $r=\min(n,m)$, obtenu en tronquant respectivement la combinaison linéaire ou le produit des parties principales à l’ordre r.

📌 Si les parties principales permettent une division par puissances croissantes à l’ordre r, le quotient admet un DL d’ordre r−j, où j est le premier indice du coefficient non nul du dénominateur.

• L’intégration d’un DL d’ordre n de f′ produit un DL d’ordre n+1 de f en intégrant chaque monôme et en ajoutant f(0), tandis que la dérivation d’un DL nécessite de savoir au préalable que f′ admet le DL d’ordre n−1 correspondant.

Compléments

📌 Si $f(0)=0$, la composition de deux fonctions admettant des DL d’ordres n et m admet un DL d’ordre $\min(n,m)$, obtenu en composant puis en tronquant les parties principales.

📐 Formule — À partir de $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+x^n\varepsilon(x)$, on obtient $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}+x^{n+1}\varepsilon(x)$.

💡 Astuce mémo

Sommer, multiplier, composer, intégrer, puis dériver sous condition

📖 9. Développements limités en un point ou l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité en a : Un développement limité d’ordre n en a s’écrit $f(x)=a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+(x-a)^n\varepsilon(x)$ avec $\lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0$.
• Développement limité en +∞ : Une fonction s’écrit $f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+\frac{\varepsilon(x)}{x^n}$ avec $\lim_{x\to+\infty}\varepsilon(x)=0$.

★ À maîtriser

• Pour obtenir un DL en a, on introduit la fonction translatée $g(x)=f(a+x)$, on calcule son DL en 0, puis on remplace x par x−a.

Compléments

• Pour obtenir un DL en +∞, on pose $g(x)=f(1/x)$, on calcule le DL de g en 0, puis on remplace x par 1/x.

💡 Astuce mémo

Translation x−a pour un point fini, inversion 1/x pour +∞

📖 10. Équivalents et notations de Landau

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalent : La relation $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.
• Domination : Le quotient f(x)/g(x) est localement borné en a.

★ À maîtriser

📌 Les équivalents se composent à droite sous une hypothèse de limite, mais ils ne se somment ni ne se composent directement à gauche en général.

Compléments

📌 Si $f\sim g$ ou $f=o(g)$, alors $f=O(g)$, et $f\sim g$ si et seulement si $f-g=o(g)$.

💡 Astuce mémo

∼ compare à 1, o compare à 0, O compare à une quantité bornée

📖 11. Applications des développements limités

★ À maîtriser

• Si le premier terme non nul d’un DL autour de a est $a_p(x-a)^p$ avec p>2, il détermine la position de la courbe par rapport à sa tangente, selon la parité de p et le signe de a_p.

• Lorsque la tangente est horizontale, un premier terme non nul d’ordre pair positif donne un minimum local strict, tandis qu’un coefficient négatif donne un maximum local strict.

• Si $f(x)=ax+b+\frac{a_p}{x^p}+\frac{\varepsilon(x)}{x^p}$ avec p>1 et $\varepsilon(x)\to0$ en +∞, la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique, située sous la courbe si a_p>0 et au-dessus si a_p<0.

📐 Formule — Si la dérivée d’ordre n+1 est bornée par M sur un intervalle, l’inégalité de Taylor-Lagrange donne $|f(x)-T_n(x)|\leq\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$.

Compléments

• Pour approcher $\sqrt2$ avec une erreur inférieure à $10^{-2}$, le polynôme de Taylor de $\sqrt{x}$ en 1 à l’ordre 9 donne $T_9(2)\approx1{,}4192$.

💡 Astuce mémo

Premier terme non nul ⇒ position relative, extremum ou inflexion

📖 12. Intégrales de Riemann généralisées

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale localement intégrable : Une fonction est localement Riemann-intégrable sur un intervalle I si sa restriction à tout segment [a,b] inclus dans I est Riemann-intégrable.
• Intégrale généralisée : Sur un intervalle [α,β[ ou ]α,β], l’intégrale généralisée converge lorsque la limite de l’intégrale classique tronquée au voisinage de la borne ouverte existe et est finie.

★ À maîtriser

• Pour une intégrale à deux bornes ouvertes, on choisit un point intermédiaire γ, on sépare l’intégrale en deux intégrales à une seule borne ouverte, puis on étudie séparément leur convergence.

📌 Pour ρ∈R, l’intégrale $\int_0^1\frac{1}{t^\rho}\,dt$ converge si et seulement si ρ<1, tandis que $\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^\rho}\,dt$ converge si et seulement si ρ>1.

Compléments

📌 Une intégrale généralisée d’une fonction bornée sur un intervalle à borne ouverte est faussement généralisée et converge vers l’intégrale de toute extension Riemann-intégrable à la borne.

💡 Astuce mémo

Localiser la borne ouverte, passer à la limite, puis tester la convergence

📖 13. Critères des intégrales généralisées

★ À maîtriser

• Si f et g sont positives et vérifient 0 ≤ f(t) ≤ g(t), la divergence de l’intégrale généralisée de f entraîne celle de g, tandis que la convergence de g entraîne celle de f avec une intégrale de f inférieure ou égale à celle de g.

• Pour une fonction positive f sur [1,+∞[, si $\lim_{t\to+\infty} t^\rho f(t)=\ell\in[0,+\infty[$ avec ρ>1, alors l’intégrale généralisée de f converge, tandis qu’elle diverge si ρ≤1 et si la limite appartient à ]0,+∞].

• Pour des fonctions positives, si f(t)∼g(t) à l’extrémité singulière β, leurs intégrales généralisées sont de même nature, et si f(t)=O(g(t)) en β, la convergence de g entraîne celle de f.

Compléments

• L’intégrale de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$ est convergente et vaut $\sqrt{\pi}$.

📌 Pour ρ,ζ∈R, l’intégrale de Bertrand à l’infini $\int_e^{+\infty}\frac{dt}{t^\rho\ln(t)^\zeta}$ converge si et seulement si ρ>1 ou si ρ=1 et ζ>1.

💡 Astuce mémo

Équivalent : même nature ; domination : convergence héritée

📖 14. Convergence absolue des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale absolument convergente : lorsque l’intégrale généralisée de la valeur absolue de sa fonction est convergente

★ À maîtriser

📌 Si l’intégrale généralisée de f est absolument convergente, alors elle est convergente et vérifie $\left|\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\right|\leq\int_\alpha^\beta|f(t)|\,dt$.

📌 Une intégrale généralisée peut être convergente sans être absolument convergente ; elle est alors dite semi-convergente.

Compléments

• L’intégrale généralisée $\int_0^1\frac{\sin(1/t)}{\sqrt{t}}\,dt$ est absolument convergente et donc convergente.

💡 Astuce mémo

Convergence de |f| → convergence de f

📖 15. Définition et propriétés des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : la suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$ d’une suite numérique (u_k), et elle est notée $\sum u_k$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour q≠1, les sommes partielles géométriques vérifient $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📌 La série géométrique $\sum_{k=0}^{+\infty}q^k$ converge si et seulement si |q|<1, et sa somme vaut $\frac{1}{1-q}$.

• La série harmonique $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1k$ est divergente.

📌 Si une série $\sum u_k$ converge, alors son terme général vérifie $\lim_{k\to+\infty}u_k=0$.

Compléments

• La série télescopique $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k(k+1)}$ converge et sa somme vaut 1, car $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$.

💡 Astuce mémo

Termes → sommes partielles → limite

📖 16. Critères pour séries positives

★ À maîtriser

• Une série à termes positifs converge si et seulement si sa suite de sommes partielles est majorée ; sinon ses sommes partielles tendent vers +∞.

• Si 0≤u_k≤v_k pour tout k, la convergence de $\sum v_k$ entraîne celle de $\sum u_k$, tandis que la divergence de $\sum u_k$ entraîne celle de $\sum v_k$.

• Si f est positive, décroissante et localement Riemann-intégrable sur [1,+∞[, alors la série $\sum_{k=1}^{+\infty}f(k)$ et l’intégrale $\int_1^{+\infty}f(t)\,dt$ sont de même nature.

• La série de Riemann $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^\rho}$ converge si et seulement si ρ>1.

Compléments

📌 La série de Bertrand $\sum_{k=2}^{+\infty}\frac1{k^\rho\ln(k)^\zeta}$ converge si et seulement si ρ>1 ou si ρ=1 et ζ>1.

💡 Astuce mémo

Petits termes ne suffisent pas : harmonique divergente malgré une limite nulle

📖 17. Séries absolues et critères avancés

🔑 Notions clés & Définitions

• Série absolument convergente : lorsque la série $\sum|u_k|$ est convergente

📝 Points essentiels

• Toute série absolument convergente est convergente et vérifie $\left|\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right|\leq\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$.

• Si $\lim_{k\to+\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|=\ell$, la règle de d’Alembert donne une convergence absolue si ℓ<1, une divergence si ℓ>1, et ne permet pas de conclure si ℓ=1.

• Si $\lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{|u_k|}=\ell$, la règle de Cauchy donne une convergence absolue si ℓ<1, une divergence si ℓ>1, et ne permet pas de conclure si ℓ=1.

💡 Astuce mémo

Absolue implique convergence ; convergence seule n’implique pas absolue

📖 18. Séries alternées et restes

🔑 Notions clés & Définitions

• Série alternée : une série dont le terme général change de signe à chaque rang et qui s’écrit sous la forme $\sum(-1)^ku_k$, avec u_k de signe constant
• Reste d’une série convergente : Le reste d’une série convergente $\sum u_k$ après le rang n est $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$.

📝 Points essentiels

• Si (u_k) est monotone et tend vers 0, alors la série alternée $\sum(-1)^ku_k$ converge.

• Dans les conditions de la règle d’Abel, si u_k tend vers 0, si $\sum|u_k-u_{k+1}|$ converge et si les sommes partielles de $\sum v_k$ sont bornées, alors $\sum u_kv_k$ converge.

• Pour une série alternée issue d’une suite monotone tendant vers 0, le reste vérifie $|R_n|\leq|u_{n+1}|$.

• Les exercices 65 et 66 demandent de déterminer la nature de séries dont les termes combinent notamment exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques, racines, puissances et facteurs alternés.

📌 L’étude de la nature d’une série peut nécessiter de distinguer convergence absolue, convergence conditionnelle et divergence selon le comportement asymptotique de son terme général.

📐 Formule — La décomposition en éléments simples de $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ permet d’écrire ce terme sous la forme $\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2}$.

• Une série télescopique se traite en décomposant son terme général, puis en décalant les indices afin de faire apparaître des annulations entre termes successifs.

• Par comparaison série-intégrale, les sommes partielles de $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}$ sont équivalentes à $\ln(\ln n)$ lorsque $n\to+\infty$.

📐 Formule — Les sommes logarithmiques vérifient l’équivalent $\ln(n!)\sim n\ln n-n$ lorsque $n\to+\infty$.

• Les sommes partielles de $\sum_{k=1}^n\sqrt{k}$ sont équivalentes à $\frac{2}{3}n\sqrt n$ lorsque $n\to+\infty$.

📌 La série $\sum\frac{(-1)^k}{\sqrt{(-1)^k+k^\alpha}}$ n’est pas directement une série alternée standard, car le facteur sous la racine dépend lui-même de la parité de k.

• La règle d’Abel permet d’étudier la convergence de séries trigonométriques comme $\sum\frac{\cos k}{k}$, $\sum\frac{\cos(2k)}{2^k}$, $\sum\frac{\sin k}{\sqrt{k}}$ et $\sum\frac{\sin k}{k+\cos k}$.

• L’exercice 72 vise à établir l’existence d’un réel strictement positif λ tel que $n!\sim \lambda^n\sqrt n\,e^{-n}$ lorsque $n\to+\infty$.

📌 Si une suite strictement positive vérifie $v_k=\frac{u_k}{1+u_k}$, les séries $\sum u_k$ et $\sum v_k$ ont la même nature.

💡 Astuce mémo

Convergence → reste → majoration

📊 Tableaux de synthèse

Notations asymptotiques

Critères de convergence des séries