QCM : Intégrales généralisées et séries — 64 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une fonction f:E→Ff:E\to F ?

Elle associe à chaque élément de FF un unique élément de EE.
Elle associe à chaque élément de EE un unique élément de FF.
Elle associe chaque élément de EE à un élément situé hors de FF.
Elle associe plusieurs éléments de FF à chaque élément de EE.

Elle associe à chaque élément de $$E$$ un unique élément de $$F$$.

Explication

Une fonction attribue à chaque élément de l’ensemble de départ EE une valeur unique dans l’ensemble d’arrivée FF. L’association inverse décrit plutôt une condition éventuelle sur les antécédents et ne définit pas une fonction générale.

2. Pour une fonction f:E→Ff:E\to F, que contient l’image réciproque d’un ensemble B⊂FB\subset F ?

Les éléments de FF qui possèdent un antécédent dans EE.
Les éléments de EE dont l’image est extérieure à BB.
Les valeurs de FF obtenues à partir des éléments de BB.
Les éléments de EE dont l’image appartient à BB.

Les éléments de $$E$$ dont l’image appartient à $$B$$.

Explication

L’image réciproque est l’ensemble des antécédents appartenant à EE et vérifiant f(x)∈Bf(x)\in B. L’image directe, contrairement à elle, contient des valeurs dans l’ensemble d’arrivée.

3. Quelle affirmation distingue correctement l’injectivité et la surjectivité d’une fonction f:E→Ff:E\to F ?

Injective signifie une image dans EE, surjective une image dans FF.
Injective signifie exactement un antécédent par élément de EE, surjective deux.
Injective signifie au moins un antécédent par élément de FF, surjective au plus un.
Injective signifie au plus un antécédent par élément de FF, surjective au moins un.

Injective signifie au plus un antécédent par élément de $$F$$, surjective au moins un.

Explication

Une fonction injective ne donne pas plus d’un antécédent à un élément de l’ensemble d’arrivée, tandis qu’une fonction surjective atteint chaque élément de cet ensemble. La bijectivité réunit ces deux propriétés.

4. Si f:E→F1f:E\to F_1 et g:F2→Gg:F_2\to G, pour quels éléments la composée g∘fg\circ f est-elle définie ?

Pour les éléments x∈Gx\in G, avec (g∘f)(x)=f(g(x))(g\circ f)(x)=f(g(x)).
Pour les éléments x∈F2x\in F_2, avec (g∘f)(x)=g(x)+f(x)(g\circ f)(x)=g(x)+f(x).
Pour les éléments x∈f−1(F2)x\in f^{-1}(F_2), avec (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Pour les éléments x∈f−1(E)x\in f^{-1}(E), avec (g∘f)(x)=f(g(x))(g\circ f)(x)=f(g(x)).

Pour les éléments $$x\in f^{-1}(F_2)$$, avec $$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$.

Explication

La composée est définie lorsque f(x)f(x) appartient au domaine de gg, c’est-à-dire lorsque x∈f−1(F2)x\in f^{-1}(F_2), et sa valeur est g(f(x))g(f(x)). L’ordre des fonctions est donc celui de leur application successive.

5. Laquelle des expressions définit un polynôme réel de degré 33 ?

P(x)=x+x3P(x)=\sqrt{x}+x^3
P(x)=2−x+4x2P(x)=2- x+4x^2
P(x)=2+1x+x2P(x)=2+\frac{1}{x}+x^2
P(x)=2−x+4x2−3x3P(x)=2- x+4x^2-3x^3

$$P(x)=2- x+4x^2-3x^3$$

Explication

Le premier polynôme est une somme de puissances entières non négatives de xx et son coefficient de x3x^3 est non nul, donc son degré vaut 33. Les autres expressions comportent soit une puissance non polynomiale, soit un dénominateur, soit un degré différent.

6. Si deg⁡(P)=2\deg(P)=2 et deg⁡(Q)=3\deg(Q)=3, que peut-on affirmer sur le degré de PQPQ et celui de P+QP+Q ?

deg⁡(PQ)=6\deg(PQ)=6 et deg⁡(P+Q)≤5\deg(P+Q)\leq5.
deg⁡(PQ)≤3\deg(PQ)\leq3 et deg⁡(P+Q)=5\deg(P+Q)=5.
deg⁡(PQ)=5\deg(PQ)=5 et deg⁡(P+Q)≤3\deg(P+Q)\leq3.
deg⁡(PQ)≤5\deg(PQ)\leq5 et deg⁡(P+Q)=3\deg(P+Q)=3.

$$\deg(PQ)=5$$ et $$\deg(P+Q)\leq3$$.

Explication

Le degré d’un produit est exactement la somme des degrés, donc deg⁡(PQ)=2+3=5\deg(PQ)=2+3=5. Pour une somme, le degré est majoré par le maximum des deux degrés, ici 33, car les termes dominants peuvent éventuellement se compenser.

7. Que signifie qu’un réel λ\lambda est une racine d’un polynôme PP ?

Il est égal au degré de PP.
Il vérifie P(λ)=0P(\lambda)=0.
Il rend le degré de PP égal à zéro.
Il est le coefficient du terme de plus haut degré.

Il vérifie $$P(\lambda)=0$$.

Explication

Une racine est une valeur de la variable qui annule le polynôme, ce qui s’écrit P(λ)=0P(\lambda)=0. Le degré et les coefficients décrivent le polynôme, mais ne définissent pas une racine.

8. Dans la division euclidienne de AA par un polynôme non nul BB, quelle propriété caractérise le quotient QQ et le reste RR ?

Ils vérifient A=BQ+RA=BQ+R avec deg⁡(R)<deg⁡(B)\deg(R)<\deg(B).
Ils vérifient A=BQ−RA=BQ-R avec deg⁡(Q)<deg⁡(B)\deg(Q)<\deg(B).
Ils vérifient A=B+Q+RA=B+Q+R avec deg⁡(R)=deg⁡(B)\deg(R)=\deg(B).
Ils vérifient A=BR+QA=BR+Q avec deg⁡(Q)<deg⁡(B)\deg(Q)<\deg(B).

Ils vérifient $$A=BQ+R$$ avec $$\deg(R)<\deg(B)$$.

Explication

La division euclidienne fournit un unique quotient et un unique reste satisfaisant A=BQ+RA=BQ+R, avec un degré du reste strictement inférieur à celui du diviseur. La contrainte porte donc sur RR et non sur QQ.

9. Une fonction peut-elle avoir une limite ℓ\ell en aa alors que f(a)f(a) n’est pas définie ou est différente de ℓ\ell ?

Non, car une limite impose que f(a)=ℓf(a)=\ell.
Oui, car la limite dépend des valeurs de la fonction au voisinage de aa.
Non, car une fonction doit être continue en aa pour avoir une limite.
Oui, mais seulement lorsque aa n’est pas adhérent au domaine.

Oui, car la limite dépend des valeurs de la fonction au voisinage de $$a$$.

Explication

La limite décrit le comportement de f(x)f(x) lorsque xx approche aa dans le domaine, et elle ne nécessite pas que la valeur f(a)f(a) existe ou coïncide avec ℓ\ell. L’égalité avec f(a)f(a) relève d’une condition supplémentaire de continuité.

10. Si, au voisinage d’un point, f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x)\leq h(x) et que ff et hh tendent toutes deux vers ℓ\ell, vers quoi tend gg ?

gg tend vers la moyenne des limites de ff et hh.
gg tend vers l’infini puisque les deux fonctions l’encadrent.
La limite de gg ne peut être déduite de cet encadrement.
gg tend vers ℓ\ell par le théorème des gendarmes.

$$g$$ tend vers $$\ell$$ par le théorème des gendarmes.

Explication

Le théorème des gendarmes impose à la fonction intermédiaire la même limite que les deux fonctions qui l’encadrent lorsqu’elles ont une limite commune finie. La moyenne n’intervient pas dans ce résultat.

11. Dans les limites usuelles à l’infini, quel ordre de domination est correct pour une exponentielle, une puissance et un logarithme positifs ?

L’exponentielle domine les puissances, qui dominent les logarithmes.
Les puissances dominent les exponentielles, qui dominent les logarithmes.
Les logarithmes dominent les puissances, qui dominent les exponentielles.
Les trois familles ont toujours des croissances comparables.

L’exponentielle domine les puissances, qui dominent les logarithmes.

Explication

Pour des paramètres positifs, la croissance usuelle suit l’ordre exponentielle, puis puissances, puis logarithmes. Ainsi, une exponentielle finit par croître plus vite qu’une puissance, elle-même plus vite qu’un logarithme.

12. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction ff en un point aa de son domaine ?

La fonction possède une dérivée en aa et celle-ci est égale à f(a)f(a)
La fonction est bornée dans un voisinage de aa et atteint cette borne en aa
La limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa existe, quelle que soit la valeur de f(a)f(a)
La limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa existe et vaut f(a)f(a)

La limite de $$f(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$a$$ existe et vaut $$f(a)$$

Explication

La continuité exige que la limite en aa existe et coïncide avec la valeur f(a)f(a). L’existence d’une limite seule ne suffit pas si la valeur attribuée au point est différente.

13. Quelle propriété garantit qu’une fonction continue possède un minimum et un maximum globaux ?

Elle est continue sur un domaine fermé mais non borné
Elle est dérivable sur un intervalle ouvert et borné
Elle est monotone sur un intervalle ouvert et borné
Elle est continue sur un intervalle fermé et borné

Elle est continue sur un intervalle fermé et borné

Explication

La continuité sur un intervalle fermé et borné garantit l’existence des deux extrema globaux. Un domaine non borné ne fournit pas cette garantie, même lorsque la fonction y est continue.

14. Quelle condition définit la dérivabilité de ff en aa ?

La fonction est continue dans un voisinage de aa et sa valeur en aa est non nulle
Le quotient f(x)−f(a)x−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a} reste borné près de aa, sans condition de limite
Le quotient f(x)−f(a)x−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a} admet une limite réelle quand xx tend vers aa, avec aa non isolé
La fonction possède une limite réelle en aa, même si son domaine ne contient aucun autre point proche

Le quotient $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ admet une limite réelle quand $$x$$ tend vers $$a$$, avec $$a$$ non isolé

Explication

La dérivabilité requiert que aa soit non isolé et que le quotient différentiel admette une limite réelle, qui définit f′(a)f'(a). Une simple continuité ou une simple bornitude du quotient ne suffit pas.

15. Si f(a)=2f(a)=2, f′(a)=3f'(a)=3, g(a)=5g(a)=5 et g′(a)=−1g'(a)=-1, quelle est la valeur de (fg)′(a)(fg)'(a) ?

8
-1
15
13

13

Explication

La règle du produit donne (fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a)=3×5+2×(−1)=13(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=3\times5+2\times(-1)=13. Additionner seulement les dérivées ou multiplier les valeurs ne correspond pas à cette règle.

16. Quelle expression représente une somme de Riemann associée à une subdivision Δ={tk}\Delta=\{t_k\} et à des points sk∈[tk,tk+1]s_k\in[t_k,t_{k+1}] ?

∑k=0n−1f(tk)\sum_{k=0}^{n-1}f(t_k)
lim⁡∣Δ∣→0∑k=0n−1f(sk)\lim_{\lvert\Delta\rvert\to0}\sum_{k=0}^{n-1}f(s_k)
∑k=0n−1(sk−tk)f(tk+1)\sum_{k=0}^{n-1}(s_k-t_k)f(t_{k+1})
∑k=0n−1(tk+1−tk)f(sk)\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k)f(s_k)

$$\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k)f(s_k)$$

Explication

Une somme de Riemann pondère chaque valeur f(sk)f(s_k) par la longueur tk+1−tkt_{k+1}-t_k du sous-intervalle. L’intégrale correspond ensuite à la limite de ces sommes lorsque le diamètre de la subdivision tend vers zéro.

17. Quand une fonction f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} est-elle intégrable au sens de Riemann ?

Lorsque ff est bornée et prend une valeur non nulle en chaque point de [a,b][a,b]
Lorsque ff possède une primitive dérivable sur tout intervalle contenant [a,b][a,b]
Lorsque chaque somme de Riemann possède exactement la même valeur pour toute subdivision
Lorsque ses sommes de Riemann convergent vers une limite réelle quand le diamètre de la subdivision tend vers zéro

Lorsque ses sommes de Riemann convergent vers une limite réelle quand le diamètre de la subdivision tend vers zéro

Explication

L’intégrabilité de Riemann signifie que les sommes de Riemann convergent vers une même limite réelle lorsque le diamètre de la subdivision tend vers zéro. Il n’est pas nécessaire que les sommes soient déjà identiques pour des subdivisions finies.

18. Laquelle de ces fonctions est garantie d’être intégrable au sens de Riemann sur un intervalle fermé et borné [a,b][a,b] ?

Toute fonction périodique sur [a,b][a,b]
Toute fonction définie sur [a,b][a,b], sans condition supplémentaire
Toute fonction monotone sur [a,b][a,b]
Toute fonction non bornée sur [a,b][a,b]

Toute fonction monotone sur $$[a,b]$$

Explication

Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle fermé et borné est Riemann-intégrable. La périodicité ou la simple définition sur l’intervalle ne suffit pas à établir cette propriété.

19. Quelle formule applique-t-on à ∫abf′(t)g(t) dt\int_a^b f'(t)g(t)\,dt lorsque ff et gg sont de classe C1C^1 ?

f(b)g(b)−f(a)g(a)+∫abf′(t)g(t) dtf(b)g(b)-f(a)g(a)+\int_a^b f'(t)g(t)\,dt
[f(t)g(t)]ab+∫abf′(t)g′(t) dt[f(t)g(t)]_a^b+\int_a^b f'(t)g'(t)\,dt
[f(t)g(t)]ab−∫abf(t)g′(t) dt[f(t)g(t)]_a^b-\int_a^b f(t)g'(t)\,dt
∫abf(t)g(t) dt−[f′(t)g′(t)]ab\int_a^b f(t)g(t)\,dt-[f'(t)g'(t)]_a^b

$$[f(t)g(t)]_a^b-\int_a^b f(t)g'(t)\,dt$$

Explication

L’intégration par parties transfère la dérivée de ff vers gg et donne le terme de bord moins l’intégrale de f(t)g′(t)f(t)g'(t). Le signe négatif devant cette nouvelle intégrale est essentiel.

20. Que représente le polynôme de Taylor d’ordre nn en 00 pour une fonction suffisamment dérivable ff ?

La limite des quotients différentiels de tous les ordres en 00
f(0)+f′(0)x+⋯+f(n)(0)n!xnf(0)+f'(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
La somme précédente augmentée d’un terme de reste dépendant d’un point intermédiaire
f(x)f(x) évaluée en un unique point voisin de 00

$$f(0)+f'(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Explication

Le polynôme de Taylor regroupe les termes polynomiaux construits à partir des dérivées en 00 jusqu’à l’ordre nn. Le reste appartient au développement ou à la formule de Taylor, mais ne fait pas partie du polynôme lui-même.

21. Dans la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre nn en 00, où le reste utilise-t-il la dérivée d’ordre n+1n+1 ?

Au point xx où l’approximation est évaluée
En un point θx\theta_x situé entre 00 et xx
En un point choisi en dehors du segment reliant 00 à xx
En l’extrémité fixe 00 de l’intervalle

En un point $$\theta_x$$ situé entre $$0$$ et $$x$$

Explication

Le reste de Taylor-Lagrange contient f(n+1)(θx)f^{(n+1)}(\theta_x) pour un point intermédiaire θx\theta_x situé entre 00 et xx. Il ne s’évalue donc pas nécessairement en 00 ou directement en xx.

22. Quelle forme exprime qu’une fonction ff admet un développement limité d’ordre nn en 00 ?

f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+xnε(x)f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→∞\varepsilon(x)\to\infty quand x→0x\to0
f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+ε(x)f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\varepsilon(x) avec ε(x)→∞\varepsilon(x)\to\infty quand x→0x\to0
f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+xn+1ε(x)f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^{n+1}\varepsilon(x) avec ε(x)→1\varepsilon(x)\to1 quand x→0x\to0
f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+xnε(x)f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0 quand x→0x\to0

$$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)$$ avec $$\varepsilon(x)\to0$$ quand $$x\to0$$

Explication

Un développement limité d’ordre nn comporte un polynôme jusqu’au terme en xnx^n et un terme xnε(x)x^n\varepsilon(x) où ε(x)\varepsilon(x) tend vers zéro. La tendance de ε(x)\varepsilon(x) vers zéro caractérise le contrôle du reste.

23. Quel développement limité d’ordre nn en 00 décrit l’exponentielle exe^x ?

ex=x+x2+⋯+xn+xnε(x)e^x=x+x^2+\cdots+x^n+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0
ex=1+x2!+x23!+⋯+xn(n+1)!+xnε(x)e^x=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{(n+1)!}+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0
ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+xn+1ε(x)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^{n+1}\varepsilon(x) avec ε(x)→1\varepsilon(x)\to1
ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+xnε(x)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$$ avec $$\varepsilon(x)\to0$$

Explication

Les dérivées successives de l’exponentielle valent encore l’exponentielle, donc tous les coefficients en 00 sont 1/k!1/k!. Le reste s’écrit sous la forme xnε(x)x^n\varepsilon(x) avec ε(x)\varepsilon(x) tendant vers zéro.

24. Dans un développement limité d’ordre nn en zéro, quelle expression représente le reste ?

anxna_nx^n sans condition supplémentaire
xnε(x)x^n\varepsilon(x) avec lim⁡x→0ε(x)=0\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0
ε(x)\varepsilon(x) avec lim⁡x→0ε(x)=1\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=1
a0+a1x+⋯+anxna_0+a_1x+\cdots+a_nx^n

$$x^n\varepsilon(x)$$ avec $$\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0$$

Explication

Le reste s’écrit sous la forme xnε(x)x^n\varepsilon(x), où ε(x)\varepsilon(x) tend vers zéro quand xx tend vers zéro. La somme polynomiale constitue la partie principale et ne représente donc pas le reste.

25. Quel est le développement limité d’ordre 33 de exe^x en zéro ?

x+x22+x36+x3ε(x)x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)
1+x+x22+x36+x3ε(x)1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)
1+x22+x36+x3ε(x)1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)
1+x+x2+x3+x3ε(x)1+x+x^2+x^3+x^3\varepsilon(x)

$$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$$

Explication

La formule générale de l’exponentielle utilise les coefficients 1k!\frac{1}{k!}, avec un terme constant égal à 11. Le coefficient de x2x^2 vaut donc 12\frac12 et celui de x3x^3 vaut 16\frac16.

26. Si une fonction admet un développement limité d’ordre supérieur à 11 en zéro, que représente son coefficient linéaire ?

Sa dérivée en zéro
La valeur de son reste en zéro
Sa valeur en zéro
La limite de sa fonction en l’infini

Sa dérivée en zéro

Explication

Le coefficient linéaire d’un développement limité suffisamment élevé est égal à la dérivée de la fonction en zéro. Le coefficient constant, lui, correspond à la valeur de la fonction en zéro et intervient dans la continuité.

27. Quel exemple montre qu’une fonction peut admettre un développement limité d’ordre supérieur à 22 sans être deux fois dérivable en zéro ?

f(x)=x3sin⁡(1/x)f(x)=x^3\sin(1/x) pour x≠0x\neq0 et f(0)=0f(0)=0
f(x)=exf(x)=e^x pour tout réel xx
f(x)=x2f(x)=x^2 pour tout réel xx
f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln(1+x) au voisinage de zéro

$$f(x)=x^3\sin(1/x)$$ pour $$x\neq0$$ et $$f(0)=0$$

Explication

La fonction x3sin⁡(1/x)x^3\sin(1/x) prolongée par zéro admet le développement limité nul à l’ordre considéré, tout en fournissant un contre-exemple à l’implication entre développement limité élevé et double dérivabilité. Les autres fonctions proposées sont régulières au voisinage de zéro.

28. Deux fonctions admettent des développements limités d’ordres nn et mm ; à quel ordre leur somme et leur produit admettent-ils en général un développement limité ?

À l’ordre n+mn+m
À l’ordre n−mn-m
À l’ordre max⁡(n,m)\max(n,m)
À l’ordre min⁡(n,m)\min(n,m)

À l’ordre $$\min(n,m)$$

Explication

La somme et le produit sont calculés en combinant les parties principales puis en tronquant au plus petit des deux ordres. Cet ordre commun est donc min⁡(n,m)\min(n,m).

29. Si le premier coefficient non nul de la partie principale du dénominateur apparaît au rang jj, à quel ordre le quotient peut-il être développé lorsque la division est possible jusqu’au rang rr ?

À l’ordre j−rj-r
À l’ordre min⁡(r,j)\min(r,j)
À l’ordre r−jr-j
À l’ordre r+jr+j

À l’ordre $$r-j$$

Explication

La division par un dénominateur dont le premier terme non nul est de degré jj fait perdre jj ordres au développement. L’ordre obtenu est donc r−jr-j, contrairement aux opérations de somme qui ne produisent pas cette diminution.

30. Comment obtient-on un développement limité de ff en intégrant celui de f′f' ?

On divise chaque coefficient par son degré et on supprime le terme constant
On dérive chaque monôme et on ajoute la constante f′(0)f'(0)
On intègre chaque monôme et on ajoute la constante f(0)f(0)
On compose chaque monôme avec x2x^2 puis on retranche f(0)f(0)

On intègre chaque monôme et on ajoute la constante $$f(0)$$

Explication

L’intégration terme à terme augmente l’ordre de un et la constante d’intégration est déterminée par la valeur f(0)f(0). La dérivation suit une logique différente et exige de connaître à l’avance le développement limité de la dérivée.

31. Quelle forme prend un développement limité d’ordre nn d’une fonction au voisinage de aa ?

a0+a1(a−x)+⋯+an(a−x)n+xnε(x)a_0+a_1(a-x)+\cdots+a_n(a-x)^n+x^n\varepsilon(x)
a0+a1x+⋯+anxn+xnε(x)a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)
a0+a1(x−a)+⋯+an(x−a)n+(x−a)nε(x)a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+(x-a)^n\varepsilon(x)
a0+a1x−a+⋯+an(x−a)na_0+\frac{a_1}{x-a}+\cdots+\frac{a_n}{(x-a)^n}

$$a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+(x-a)^n\varepsilon(x)$$

Explication

Au voisinage de aa, les puissances sont exprimées en fonction de x−ax-a et le reste est multiplié par (x−a)n(x-a)^n. L’écriture en puissances de xx correspond au développement en zéro, pas à celui en un point quelconque.

32. Quelle méthode permet de ramener le calcul d’un développement limité en aa à un développement limité en zéro ?

Poser g(x)=f(1/x)g(x)=f(1/x), développer gg en zéro, puis remplacer xx par 1/x1/x
Poser g(x)=f(x−a)g(x)=f(x-a), développer gg en l’infini, puis ajouter aa
Poser g(x)=f(a+x)g(x)=f(a+x), développer gg en zéro, puis remplacer xx par x−ax-a
Poser g(x)=f(xa)g(x)=f(x^a), développer gg en zéro, puis prendre sa dérivée

Poser $$g(x)=f(a+x)$$, développer $$g$$ en zéro, puis remplacer $$x$$ par $$x-a$$

Explication

La translation g(x)=f(a+x)g(x)=f(a+x) transforme le voisinage de aa en voisinage de zéro, ce qui permet d’utiliser les développements connus en zéro. La substitution par 1/x1/x concerne plutôt le passage à l’infini.

33. Quelle structure caractérise un développement limité d’ordre nn en +∞+\infty ?

a0+a1x+⋯+anxn+xnε(x)a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0
a0+a1(x−a)+⋯+an(x−a)na_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n avec x→ax\to a
a0x+a1x2+⋯+anxn+1+ε(x)\frac{a_0}{x}+\frac{a_1}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^{n+1}}+\varepsilon(x) avec ε(x)→1\varepsilon(x)\to1
a0+a1x+⋯+anxn+ε(x)xna_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+\frac{\varepsilon(x)}{x^n} avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0

$$a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+\frac{\varepsilon(x)}{x^n}$$ avec $$\varepsilon(x)\to0$$

Explication

À l’infini, le développement s’exprime en puissances décroissantes de 1/x1/x, avec un reste de la forme ε(x)/xn\varepsilon(x)/x^n. Les puissances croissantes de xx décrivent la structure d’un développement au voisinage de zéro, pas celle d’un développement en +∞+\infty.

34. Que signifie la relation f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x) au voisinage de aa ?

La différence f(x)−g(x)f(x)-g(x) tend vers 1 lorsque xx tend vers aa.
Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} reste borné lorsque xx tend vers aa.
Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} tend vers 0 lorsque xx tend vers aa.
Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} tend vers 1 lorsque xx tend vers aa.

Le quotient $$\frac{f(x)}{g(x)}$$ tend vers 1 lorsque $$x$$ tend vers $$a$$.

Explication

L’équivalence signifie que le quotient des deux fonctions tend vers 1 au voisinage de aa. Une limite nulle caractérise plutôt la négligeabilité, tandis qu’un quotient borné correspond à une notation en OO.

35. Quelle propriété caractérise la relation f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) au voisinage de aa ?

Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} est localement borné près de aa.
Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} tend vers zéro près de aa.
Le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} tend vers un lorsque xx tend vers aa.
La différence f(x)−g(x)f(x)-g(x) est localement bornée près de aa.

Le quotient $$\frac{f(x)}{g(x)}$$ est localement borné près de $$a$$.

Explication

La notation OO indique que le quotient f(x)/g(x)f(x)/g(x) reste borné dans un voisinage de aa. La convergence du quotient vers zéro relève de la notation oo, et sa convergence vers un définit l’équivalence.

36. Laquelle de ces opérations est valide pour des équivalents au voisinage d’un point, sous une hypothèse de limite appropriée ?

Additionner directement les équivalents dans tous les cas.
Composer directement les équivalents à gauche dans tous les cas.
Composer les équivalents à droite sous une hypothèse de limite.
Remplacer chaque différence d’équivalents par leur quotient.

Composer les équivalents à droite sous une hypothèse de limite.

Explication

Les équivalents peuvent se composer à droite lorsqu’une hypothèse de limite est satisfaite. En revanche, la somme et la composition à gauche ne préservent pas en général l’équivalence sans conditions supplémentaires.

37. Une fonction possède une tangente horizontale en aa et son premier terme non nul dans le développement limité est c(x−a)pc(x-a)^p, avec pp pair. Quel cas donne un minimum local strict ?

Le coefficient cc est positif.
L’ordre pp est impair et le coefficient est positif.
Le coefficient cc est négatif.
Le terme constant du développement est négatif.

Le coefficient $$c$$ est positif.

Explication

Lorsque la tangente est horizontale, un premier terme non nul d’ordre pair positif impose des variations positives autour de la valeur en aa, ce qui donne un minimum local strict. Avec un coefficient négatif, on obtient au contraire un maximum local strict.

38. Pour f(x)=ax+b+apxp+ε(x)xpf(x)=ax+b+\frac{a_p}{x^p}+\frac{\varepsilon(x)}{x^p} avec p>1p>1 et ε(x)→0\varepsilon(x)\to0 quand x→+∞x\to+\infty, de quel côté de l’asymptote y=ax+by=ax+b se trouve la courbe si ap>0a_p>0 ?

La courbe se trouve en dessous de l’asymptote.
La courbe se trouve au-dessus de l’asymptote.
La courbe traverse l’asymptote selon le signe de aa.
La courbe se place du côté déterminé par la valeur de bb.

La courbe se trouve au-dessus de l’asymptote.

Explication

Le terme dominant après soustraction de l’asymptote est ap/xpa_p/x^p, qui est positif à l’infini lorsque ap>0a_p>0. La courbe est donc au-dessus de la droite, indépendamment de la pente aa.

39. Si la dérivée d’ordre n+1n+1 est bornée par MM sur un intervalle, quelle majoration donne le reste de Taylor-Lagrange autour de aa ?

∣f(x)−Tn(x)∣≤M∣x−a∣nn!\left|f(x)-T_n(x)\right|\leq\frac{M|x-a|^n}{n!}
∣f(x)−Tn(x)∣≤M∣x−a∣n(n+1)!\left|f(x)-T_n(x)\right|\leq\frac{M|x-a|^{n}}{(n+1)!}
∣f(x)−Tn(x)∣≤M∣x−a∣n+1n!\left|f(x)-T_n(x)\right|\leq\frac{M|x-a|^{n+1}}{n!}
∣f(x)−Tn(x)∣≤M∣x−a∣n+1(n+1)!\left|f(x)-T_n(x)\right|\leq\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}

$$\left|f(x)-T_n(x)\right|\leq\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$

Explication

La formule de Taylor-Lagrange majore le reste par M∣x−a∣n+1/(n+1)!M|x-a|^{n+1}/(n+1)! lorsque la dérivée d’ordre n+1n+1 est bornée par MM. Les autres expressions associent incorrectement la puissance ou la factorielle à l’ordre du développement.

40. Quelle approximation de 2\sqrt{2} obtient-on en évaluant en 22 le polynôme de Taylor d’ordre 9 de x\sqrt{x} développé en 1 ?

Environ 1,41421{,}4142, avec une erreur inférieure à 10−410^{-4}.
Environ 1,73211{,}7321, avec une erreur inférieure à 10−210^{-2}.
Environ 1,41921{,}4192, avec une erreur inférieure à 10−210^{-2}.
Environ 1,50001{,}5000, avec une erreur inférieure à 10−210^{-2}.

Environ $$1{,}4192$$, avec une erreur inférieure à $$10^{-2}$$.

Explication

L’évaluation du développement limité d’ordre 9 en x=2x=2 fournit l’approximation T9(2)≈1,4192T_9(2)\approx1{,}4192, suffisamment précise pour une erreur inférieure à 10−210^{-2}. La valeur 1,41421{,}4142 est une approximation plus fine, mais ce n’est pas celle donnée par ce calcul.

41. Que signifie l’intégrabilité locale de Riemann d’une fonction sur un intervalle II ?

Elle possède une intégrale généralisée convergente à chaque borne ouverte de II.
Son intégrale sur l’ensemble de II est nécessairement finie.
Elle est bornée et continue sur tout l’intervalle II.
Sa restriction à tout segment fermé contenu dans II est intégrable au sens de Riemann.

Sa restriction à tout segment fermé contenu dans $$I$$ est intégrable au sens de Riemann.

Explication

L’intégrabilité locale exige l’intégrabilité de la restriction à chaque segment fermé inclus dans II. Elle ne garantit pas l’intégrabilité sur tout II lorsque celui-ci possède une borne ouverte ou est non borné.

42. Sur un intervalle ayant une borne ouverte, quand l’intégrale généralisée est-elle dite convergente ?

Lorsque la fonction possède une limite finie à la borne ouverte.
Lorsque l’intégrale classique sur un segment tronqué reste bornée pour toute troncature.
Lorsque la fonction est continue sur tout l’intervalle, borne ouverte comprise.
Lorsque la limite de l’intégrale classique tronquée près de la borne existe et est finie.

Lorsque la limite de l’intégrale classique tronquée près de la borne existe et est finie.

Explication

La convergence est définie par l’existence d’une limite finie des intégrales classiques lorsque la troncature se rapproche de la borne ouverte. La continuité ou la bornitude de la fonction peut faciliter l’étude, mais ne constitue pas la définition générale.

43. Comment étudier une intégrale généralisée dont les deux bornes sont ouvertes ?

Regrouper les deux singularités dans une limite unique sans séparer l’intégrale.
Étudier la limite d’une seule troncature symétrique autour du point intermédiaire.
Remplacer les deux bornes ouvertes par leur moyenne et calculer une intégrale classique.
Choisir un point intermédiaire, séparer l’intégrale et étudier séparément les deux morceaux.

Choisir un point intermédiaire, séparer l’intégrale et étudier séparément les deux morceaux.

Explication

On choisit un point intermédiaire γ\gamma, puis on décompose l’intégrale en deux intégrales ayant chacune une seule borne ouverte. La convergence exige ensuite que chacune de ces deux intégrales converge séparément.

44. Pour quelle condition sur ρ\rho l’intégrale ∫011tρ dt\int_0^1\frac{1}{t^\rho}\,dt converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si ρ<1\rho<1.
Elle converge pour toute valeur réelle de ρ\rho.
Elle converge si et seulement si ρ>1\rho>1.
Elle converge si et seulement si ρ=1\rho=1.

Elle converge si et seulement si $$\rho<1$$.

Explication

Au voisinage de zéro, l’intégrale de t−ρt^{-\rho} converge lorsque l’exposant satisfait ρ<1\rho<1. La condition ρ>1\rho>1 concerne l’intégrale analogue sur [1,+∞[[1,+\infty[, et non celle qui présente une singularité en zéro.

45. Soient deux fonctions positives telles que 0≤f(t)≤g(t)0\leq f(t)\leq g(t). Quelle implication est correcte concernant leurs intégrales généralisées ?

La divergence des deux intégrales est équivalente dès que les fonctions sont positives.
La divergence de l’intégrale de ff entraîne celle de gg, tandis que la convergence de gg entraîne celle de ff.
La convergence de l’intégrale de ff entraîne celle de gg, tandis que la divergence de gg entraîne celle de ff.
La convergence des deux intégrales est équivalente dès que f≤gf\leq g.

La divergence de l’intégrale de $$f$$ entraîne celle de $$g$$, tandis que la convergence de $$g$$ entraîne celle de $$f$$.

Explication

La comparaison des fonctions positives transmet la divergence de la fonction minorée vers la fonction majorée, et la convergence dans le sens inverse. La confusion fréquente consiste à inverser ces deux implications de comparaison.

46. Deux fonctions positives vérifient f(t)∼g(t)f(t)\sim g(t) au voisinage de l’extrémité singulière β\beta. Que peut-on conclure sur leurs intégrales généralisées ?

L’intégrale de ff converge dès que celle de gg diverge.
L’intégrale de gg converge dès que celle de ff diverge.
Elles sont de même nature, c’est-à-dire qu’elles convergent ou divergent ensemble.
Le comportement de leurs intégrales ne peut pas être comparé.

Elles sont de même nature, c’est-à-dire qu’elles convergent ou divergent ensemble.

Explication

L’équivalence f(t)∼g(t)f(t)\sim g(t) entre fonctions positives préserve la nature de l’intégrale généralisée à l’extrémité considérée. Une simple majoration f=O(g)f=O(g) fournirait une conclusion plus limitée, à savoir la convergence de gg vers celle de ff.

47. Que signifie la convergence absolue d’une intégrale généralisée de ff ?

L’intégrale de ff converge grâce à une compensation de signes.
L’intégrale généralisée de ∣f∣|f| est convergente.
La fonction ff est positive sur tout son domaine.
La valeur de l’intégrale est égale à l’intégrale de ff sans valeur absolue.

L’intégrale généralisée de $$|f|$$ est convergente.

Explication

La convergence absolue est définie par la convergence de l’intégrale généralisée de la valeur absolue ∣f∣|f|. Une convergence obtenue par compensation des signes peut être simple sans être absolue.

48. Si une intégrale généralisée de ff est absolument convergente, quelle inégalité est nécessairement vérifiée ?

∣∫αβf(t) dt∣≥∫αβ∣f(t)∣ dt\left|\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\right|\geq\int_\alpha^\beta|f(t)|\,dt
∣∫αβf(t) dt∣≤∫αβ∣f(t)∣ dt\left|\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\right|\leq\int_\alpha^\beta|f(t)|\,dt
∫αβf(t) dt=∫αβ∣f(t)∣ dt\int_\alpha^\beta f(t)\,dt=\int_\alpha^\beta|f(t)|\,dt
∣∫αβf(t) dt∣=0\left|\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\right|=0

$$\left|\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\right|\leq\int_\alpha^\beta|f(t)|\,dt$$

Explication

La valeur absolue de l’intégrale est majorée par l’intégrale de la valeur absolue, ce qui exprime l’inégalité triangulaire pour les intégrales. L’égalité n’est pas générale, car des signes opposés peuvent produire une compensation.

49. Comment appelle-t-on une intégrale généralisée qui converge alors que l’intégrale de la valeur absolue de sa fonction diverge ?

Une intégrale uniformément convergente.
Une intégrale absolument convergente.
Une intégrale impropre bornée.
Une intégrale semi-convergente.

Une intégrale semi-convergente.

Explication

Une intégrale convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente. La convergence absolue exigerait précisément la convergence de l’intégrale de ∣f∣|f|.

50. Dans la série numérique ∑uk\sum u_k, que désigne la suite Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^n u_k ?

La suite des sommes partielles de la série.
Le terme général de la suite dont la série est étudiée.
La différence entre deux termes consécutifs de la série.
La limite commune des termes de la suite numérique.

La suite des sommes partielles de la série.

Explication

Une série numérique est définie comme la suite de ses sommes partielles SnS_n. Le symbole uku_k désigne le terme général, et non la série elle-même ni sa somme.

51. Pour q≠1q\neq1, quelle expression donne la somme partielle géométrique ∑k=0nqk\sum_{k=0}^n q^k ?

1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
1−q1−qn+1\frac{1-q}{1-q^{n+1}}
1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}
qn+1−1q\frac{q^{n+1}-1}{q}

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Explication

La somme des puissances de qq jusqu’au rang nn vaut 1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q} lorsque q≠1q\neq1. L’exposant doit être n+1n+1, car le dernier terme inclus est qnq^n.

52. Pour quelle condition sur qq la série géométrique ∑k=0+∞qk\sum_{k=0}^{+\infty}q^k converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

Elle converge si q≠1q\neq1 et sa somme vaut 1−q1+q\frac{1-q}{1+q}.
Elle converge si q>1q>1 et sa somme vaut qq−1\frac{q}{q-1}.
Elle converge si ∣q∣≤1|q|\leq1 et sa somme vaut 11−q\frac{1}{1-q}.
Elle converge si ∣q∣<1|q|<1 et sa somme vaut 11−q\frac{1}{1-q}.

Elle converge si $$|q|<1$$ et sa somme vaut $$\frac{1}{1-q}$$.

Explication

Les puissances qkq^k tendent vers zéro et les sommes partielles admettent une limite lorsque ∣q∣<1|q|<1; cette limite est 11−q\frac{1}{1-q}. La condition q≠1q\neq1 suffit à écrire une somme partielle, mais pas à assurer la convergence de la série infinie.

53. Quel est le comportement de la série harmonique ∑k=1+∞1k\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1k ?

Elle converge parce que son terme général tend vers zéro.
Elle diverge.
Elle converge vers 12\frac{1}{2}.
Elle converge vers 11.

Elle diverge.

Explication

La série harmonique est divergente, malgré le fait que son terme général tende vers zéro. La condition uk→0u_k\to0 est nécessaire pour la convergence d’une série, mais elle ne suffit pas à elle seule.

54. Pour une série à termes positifs, quelle condition caractérise sa convergence ?

Sa suite de termes est strictement décroissante
Ses sommes partielles admettent une sous-suite bornée
Sa suite de sommes partielles est majorée
Son terme général change régulièrement de signe

Sa suite de sommes partielles est majorée

Explication

Pour une série à termes positifs, les sommes partielles sont croissantes ; elles convergent donc exactement lorsqu’elles sont majorées. Une simple décroissance des termes ou une sous-suite bornée ne suffit pas à assurer cette propriété.

55. On sait que 0≤uk≤vk0\leq u_k\leq v_k pour tout kk et que ∑vk\sum v_k converge ; que peut-on conclure pour ∑uk\sum u_k ?

La série ∑uk\sum u_k converge
La série ∑uk\sum u_k a la même somme que ∑vk\sum v_k
La série ∑uk\sum u_k diverge vers +∞+\infty
La série ∑uk\sum u_k possède des sommes partielles alternées

La série $$\sum u_k$$ converge

Explication

La comparaison terme à terme avec une série positive convergente entraîne la convergence de la série minorée. Elle ne permet pas d’affirmer que les deux séries ont la même somme.

56. Pour une fonction positive, décroissante et localement intégrable, quel outil permet de déterminer la nature de ∑k=1+∞f(k)\sum_{k=1}^{+\infty}f(k) ?

La comparaison avec la limite de f(t)f(t) lorsque t→1t\to 1
L’étude des changements de signe de la suite f(k)f(k)
La comparaison avec la dérivée f′(t)f'(t) sur un intervalle borné
La comparaison avec l’intégrale impropre ∫1+∞f(t) dt\int_1^{+\infty}f(t)\,dt

La comparaison avec l’intégrale impropre $$\int_1^{+\infty}f(t)\,dt$$

Explication

Le critère intégral affirme que la série et l’intégrale impropre sont de même nature sous ces hypothèses. La limite en l’infini ou l’étude d’une dérivée ne fournit pas, à elle seule, cette équivalence.

57. Pour quelle valeur de ρ\rho la série de Riemann ∑k=1+∞1kρ\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^\rho} converge-t-elle ?

Pour ρ<1\rho<1
Pour ρ>1\rho>1
Pour ρ≥0\rho\geq 0
Pour ρ=1\rho=1

Pour $$\rho>1$$

Explication

La série de Riemann converge exactement lorsque l’exposant est strictement supérieur à 11. Le cas ρ=1\rho=1 correspond à la série harmonique, qui diverge.

58. Que signifie qu’une série ∑uk\sum u_k est absolument convergente ?

La série ∑uk\sum u_k possède des termes positifs
La suite des signes de uku_k alterne régulièrement
La série ∑∣uk∣\sum |u_k| converge
La série ∑uk\sum u_k converge avec une somme positive

La série $$\sum |u_k|$$ converge

Explication

La convergence absolue est définie par la convergence de la série des valeurs absolues. Une série peut converger simplement grâce à l’alternance des signes sans être absolument convergente.

59. Si ∑uk\sum u_k est absolument convergente, quelle inégalité sa somme vérifie-t-elle ?

∣∑k=0+∞uk∣≤∑k=0+∞∣uk∣\left|\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right|\leq\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|
∑k=0+∞uk=∑k=0+∞∣uk∣\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|
∣∑k=0+∞uk∣≥∑k=0+∞∣uk∣\left|\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right|\geq\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|
∣∑k=0+∞uk∣=0\left|\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right|=0

$$\left|\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right|\leq\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$$

Explication

La convergence absolue entraîne la convergence de la série et l’inégalité triangulaire donne que la valeur absolue de sa somme est bornée par la somme des valeurs absolues. L’égalité n’est garantie que dans des cas particuliers, notamment lorsque les termes ne se compensent pas.

60. La règle de d’Alembert donne-t-elle une conclusion lorsque lim⁡k→+∞∣uk+1uk∣=1\lim_{k\to+\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|=1 ?

Oui, la série converge absolument
Oui, la série converge conditionnellement
Oui, la série diverge nécessairement
Non, le critère est indéterminé dans ce cas

Non, le critère est indéterminé dans ce cas

Explication

Pour une limite égale à 11, la règle de d’Alembert ne permet pas de trancher entre convergence et divergence. Les conclusions directes concernent les cas où la limite est strictement inférieure ou strictement supérieure à 11.

61. Selon la règle de Cauchy, que conclut-on si lim⁡k→+∞∣uk∣k=ℓ<1\lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{|u_k|}=\ell<1 ?

La règle impose une convergence conditionnelle
La série ∑uk\sum u_k diverge vers +∞+\infty
Le critère ne permet pas de conclure
La série ∑uk\sum u_k converge absolument

La série $$\sum u_k$$ converge absolument

Explication

Une limite de la racine kk-ième strictement inférieure à 11 entraîne la convergence absolue par la règle de Cauchy. L’indétermination apparaît lorsque cette limite vaut 11, et non lorsqu’elle est inférieure à 11.

62. Quelle propriété caractérise une série alternée de la forme ∑(−1)kuk\sum(-1)^ku_k ?

Les sommes partielles changent de signe à chaque rang
Le signe du terme change à chaque rang
Les termes sont tous positifs et croissants
Le terme général reste de signe constant

Le signe du terme change à chaque rang

Explication

Dans une série alternée, le facteur (−1)k(-1)^k impose un changement régulier de signe entre deux rangs successifs, tandis que uku_k garde un signe constant. Des sommes partielles alternées ne constituent pas la définition de cette notion.

63. Quelles hypothèses sur uku_k assurent la convergence de la série alternée ∑(−1)kuk\sum(-1)^ku_k ?

La suite uku_k est croissante et tend vers +∞+\infty
La suite uku_k est monotone et tend vers 00
La suite uku_k est bornée et tend vers 11
La suite uku_k est périodique et ne tend pas vers 00

La suite $$u_k$$ est monotone et tend vers $$0$$

Explication

Le critère des séries alternées assure la convergence lorsque la suite des amplitudes est monotone et tend vers zéro. La seule bornitude ne suffit pas, notamment si les termes ne tendent pas vers zéro.

64. Dans la règle d’Abel, quelle condition porte sur les sommes partielles de ∑vk\sum v_k ?

Elles doivent avoir des termes positifs
Elles doivent converger vers zéro
Elles doivent être bornées
Elles doivent être strictement croissantes

Elles doivent être bornées

Explication

La règle d’Abel demande que les sommes partielles de ∑vk\sum v_k soient bornées, en plus des conditions portant sur uku_k et ses variations. La série ∑vk\sum v_k n’a pas besoin d’être convergente pour que ses sommes partielles soient bornées.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 80 flashcards sur Intégrales généralisées et séries.

Qu'est-ce qu'une fonction f:E→F ?

Une fonction associe à chaque x de E un unique élément f(x) de F.

Comment se définit l'image réciproque d'un ensemble B par f ?

C'est l'ensemble des x de E tels que f(x) appartient à B.

Quand une fonction est-elle injective ?

Quand chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Intégrales généralisées et séries.

Voir la fiche →

Cours similaires

Prématurité et continuité sensorielle

Psychologie de l’éducation et apprentissages

Fondements des sciences infirmières

Eau, corps purs et mélanges

Physique

Qualité du lait et maîtrise sanitaire

Introduction à la sociologie des médias

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM