QCM : Intégration numérique (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle de longueur h=0,4h=0{,}4, une approximation par la formule des rectangles évalue la fonction au milieu. Quelle expression faut-il utiliser ?

0,2(f(xi)+f(xi+1))0{,}2\left(f(x_i)+f(x_{i+1})\right)
0,4f(xi+xi+12)0{,}4f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)
0,4f(xi+1)0{,}4f(x_{i+1})
0,4f(xi)0{,}4f(x_i)

$$0{,}4f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)$$

Explication

La règle du milieu multiplie la longueur hh par la valeur de la fonction au milieu de l’intervalle. L’évaluation en xix_i ou en xi+1x_{i+1} correspond respectivement aux règles gauche et droite, tandis que la moyenne des extrémités relève d’une autre approximation.

2. Pour appliquer la quadrature de Gauss-Legendre à un intervalle de longueur h=0,6h=0{,}6, quelle expression représente l’approximation après transformation vers [−1,1][-1,1] ?

0,6∑j=1nAjg(ξj)0{,}6\sum_{j=1}^{n}A_jg(\xi_j)
∑j=1nAjg(ξj)\sum_{j=1}^{n}A_jg(\xi_j)
0,62∑j=1nAjg(ξj)\frac{0{,}6}{2}\sum_{j=1}^{n}A_jg(\xi_j)
0,62∑j=1nξjg(Aj)\frac{0{,}6}{2}\sum_{j=1}^{n}\xi_jg(A_j)

$$\frac{0{,}6}{2}\sum_{j=1}^{n}A_jg(\xi_j)$$

Explication

La transformation de l’intervalle apporte le facteur h/2h/2, tandis que les poids AjA_j multiplient les valeurs de la fonction aux points ξj\xi_j. Supprimer ce facteur ou remplacer h/2h/2 par hh fausse l’échelle; intervertir poids et points confond leurs rôles.

3. Que représente la formule composite des trapèzes dans l’approximation d’une intégrale ?

Une moyenne des seules valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle total.
Une approximation parabolique fondée sur trois valeurs de la fonction tous les deux pas.
Une somme d’aires de rectangles utilisant les valeurs de la fonction au milieu des intervalles.
Une somme d’aires de trapèzes utilisant les valeurs de la fonction aux extrémités des intervalles.

Une somme d’aires de trapèzes utilisant les valeurs de la fonction aux extrémités des intervalles.

Explication

La formule composite des trapèzes combine les valeurs de la fonction aux deux extrémités de chaque intervalle pour former des trapèzes. L’approximation parabolique à trois valeurs correspond à la formule de Simpson, et non à celle des trapèzes.

4. Quelle expression définit le polynôme de Legendre d’ordre nn ?

Ln(x)=12nn!dndxn(x2−1)nL_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
Ln(x)=1n!dndxn(x2+1)nL_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2+1)^n
Ln(x)=12ndndxn(x2−1)n+1L_n(x)=\frac{1}{2^n}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^{n+1}
Ln(x)=12nn!dn−1dxn−1(x2−1)nL_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n

$$L_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

Explication

La définition utilise la dérivée d’ordre nn de (x2−1)n(x^2-1)^n, multipliée par 12nn!\frac{1}{2^n n!}. Une expression avec x2+1x^2+1 ne correspond pas au polynôme défini ici.

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Comment la formule des rectangles approxime-t-elle l’intégrale sur un intervalle ?

Par l’aire d’un rectangle évalué à gauche, à droite ou au milieu.

Quelles sont les approximations des rectangles à gauche, à droite et au milieu ?

hf(xi)hf(x_i), hf(xi+1)hf(x_{i+1}) et hf(xi+xi+12)hf\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right), respectivement.

Quelle formule définit le polynôme de Legendre d’ordre nn ?

Ln(x)=12nn!dndxn(x2−1)nL_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n.

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