QCM : Équations différentielles et discrétisation (11 questions)

Question 1

1. Une concentration inconnue dépend du temps $t$ et satisfait une équation faisant intervenir sa dérivée par rapport à $t$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

Une équation différentielle ordinaire

Une équation algébrique

Une équation différentielle du second ordre

Une équation aux dérivées partielles

Explication

La concentration dépend d’une seule variable indépendante, le temps, ce qui caractérise une EDO. Une EDP implique plusieurs variables indépendantes; l’ordre et la présence d’une équation algébrique ne déterminent pas ici la classification.

Answer

Une équation différentielle ordinaire

Question 2

2. Une température inconnue dépend de la position $(x,y)$ et du temps $t$ , et l’équation relie cette fonction à ses dérivées. Quelle classification convient ?

Une équation à variable indépendante unique

Une équation aux dérivées partielles

Une équation algébrique

Une équation différentielle ordinaire

Explication

La fonction dépend de plusieurs variables indépendantes, l’espace et le temps, donc l’équation est une EDP. Une EDO concerne une seule variable indépendante; les autres réponses ne décrivent pas cette dépendance.

Answer

Une équation aux dérivées partielles

Question 3

3. Une équation contient des dérivées d’une fonction jusqu’à la troisième dérivée, mais aucune dérivée d’ordre supérieur. Quel est son ordre ?

Le premier ordre

Le quatrième ordre

Le troisième ordre

Le deuxième ordre

Explication

L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée la plus élevée qui y apparaît; ici, il s’agit de la troisième. Le premier et le deuxième ordre correspondent à des dérivées moins élevées, tandis que le quatrième dépasse celles présentes.

Answer

Le troisième ordre

Question 4

4. Pour déterminer complètement la solution d’une EDO du quatrième ordre, combien de conditions initiales faut-il connaître ?

Trois conditions initiales

Cinq conditions initiales

Quatre conditions initiales

Deux conditions initiales

Explication

La résolution complète d’une EDO d’ordre $p$ nécessite $p$ conditions initiales; pour le quatrième ordre, il en faut donc quatre. Trois ou cinq résultent d’un décalage du compte, et deux ne couvrent qu’un nombre insuffisant de conditions.

Answer

Quatre conditions initiales

Question 5

5. Dans un canal, la concentration varie selon la position et le temps; le modèle doit représenter à la fois le transport par l’écoulement et la dispersion. Quelle équation décrit cette évolution?

\frac{\partial C}{\partial t}+U\frac{\partial C}{\partial x}-D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=0

\frac{\partial C}{\partial t}+U\frac{\partial C}{\partial x}=0

\frac{\partial C}{\partial x}+U\frac{\partial C}{\partial t}-D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=0

\frac{\partial C}{\partial t}+U\frac{\partial C}{\partial x}+D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=0

Explication

L’équation d’advection-diffusion combine l’évolution temporelle de la concentration, l’advection par la vitesse $U$ et la diffusion représentée par $D$ . L’équation sans terme diffusif omet la diffusion, le signe positif inverse ce terme, et l’échange des dérivées temporelle et spatiale confond leurs rôles.

Answer

$$\frac{\partial C}{\partial t}+U\frac{\partial C}{\partial x}-D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=0$$

Question 6

6. Une équipe applique le modèle d’advection-diffusion à un canal. Quel ensemble d’hypothèses respecte ce modèle?

Problème unidimensionnel, vitesse variable, dispersion représentée par

D

, sans dégradation ni rejet

Problème bidimensionnel, vitesse uniforme constante, dispersion représentée par

D

, sans dégradation ni rejet

Problème unidimensionnel, vitesse uniforme constante, dispersion représentée par

D

, sans dégradation ni rejet

Problème unidimensionnel, vitesse uniforme constante, dispersion représentée par

D

, avec un rejet continu

Explication

Le modèle suppose un problème unidimensionnel, un écoulement uniforme de vitesse constante et une dispersion hydro représentée par $D$ , sans dégradation ni rejet du polluant. Une dégradation, une vitesse variable, une dimension supplémentaire ou un rejet sort de ces hypothèses.

Answer

Problème unidimensionnel, vitesse uniforme constante, dispersion représentée par $$D$$, sans dégradation ni rejet

Question 7

7. Pour simuler la concentration dans un canal de l’entrée à la sortie, une ingénieure prépare le maillage spatial. Comment doit-elle découper le domaine?

En

N

mailles de longueur égale sur le domaine

[0,L]

En

N

mailles de longueurs variables sur le domaine

[0,L]

En

N

mailles égales couvrant seulement une partie de

[0,L]

En

N

pas temporels de longueur égale sur le domaine

[0,L]

Explication

La discrétisation spatiale partage tout le domaine $[0,L]$ en $N$ mailles de longueur égale. Des longueurs variables, des pas temporels ou un domaine partiel ne correspondent pas à cette définition du maillage spatial.

Answer

En $$N$$ mailles de longueur égale sur le domaine $$[0,L]$$

Question 8

8. Sur un maillage uniforme, le premier nœud a pour coordonnée $x_0=2$ et l’espacement vaut $\Delta x=0{,}5$ . Quelle est la coordonnée du nœud d’indice $i=4$ ?

2

4{,}5

0

4

Explication

Les nœuds suivent $x_i=x_0+i\Delta x$ ; ainsi, $x_4=2+4\times0{,}5=4$ . La valeur $2$ oublie les quatre intervalles, $4{,}5$ ajoute un intervalle de trop et $0$ résulte d’une soustraction erronée.

Answer

$$\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t)}{\Delta t}$$

Answer

$$\frac{C(x-\Delta x,t)-2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x^2}$$

Answer

$$C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)$$

Question 9

9. Pour estimer la variation temporelle de la concentration au point $x$ à l’instant $t$ , quelle expression utilise la différence finie avant avec un pas $\Delta t$ ?

\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t)}{\Delta x}

\frac{C(x,t)-C(x,t+\Delta t)}{\Delta t}

\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t-\Delta t)}{2\Delta t}

\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t)}{\Delta t}

Explication

La différence finie avant compare la valeur au temps futur $t+\Delta t$ à celle au temps $t$ , puis divise par $\Delta t$ . L’expression inversée change le signe, la différence centrée emploie deux voisins temporels et la division par $\Delta x$ utilise le mauvais pas.

Question 10

10. Pour approximer la dérivée seconde de la concentration en $x$ au nœud courant, quelle combinaison de trois nœuds et quel dénominateur faut-il utiliser ?

\frac{C(x-\Delta x,t)-C(x,t)}{\Delta x^2}

\frac{C(x-\Delta x,t)+2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x^2}

\frac{C(x-\Delta x,t)-2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x^2}

\frac{C(x-\Delta x,t)-2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x}

Explication

La différence centrée pour la dérivée seconde combine les deux nœuds voisins avec le double opposé de la valeur centrale, sur $\Delta x^2$ . Omettre le nœud droit tronque la combinaison, un coefficient central positif en modifie le signe, et $\Delta x$ seul est le mauvais dénominateur.

Question 11

11. Dans un cas où la diffusion est négligée, avec $D=0$ , quelle expression explicite met à jour la concentration au nœud $i$ ?

C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)+D\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(C_{i-1}^m-2C_i^m+C_{i+1}^m)

C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^{m+1}-C_{i-1}^{m+1})

C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)

C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_{i-1}^m-C_i^m)

Explication

Lorsque $D=0$ , le terme diffusif disparaît et la mise à jour ne conserve que l’advection explicite évaluée au temps $m$ . Garder le terme diffusif ignore la condition $D=0$ , inverser la différence amont change son signe, et employer $m+1$ évalue l’advection au temps futur.

QCM : Équations différentielles et discrétisation (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une concentration inconnue dépend du temps $t$ et satisfait une équation faisant intervenir sa dérivée par rapport à $t$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

2. Une température inconnue dépend de la position $(x,y)$ et du temps $t$ , et l’équation relie cette fonction à ses dérivées. Quelle classification convient ?

3. Une équation contient des dérivées d’une fonction jusqu’à la troisième dérivée, mais aucune dérivée d’ordre supérieur. Quel est son ordre ?

4. Pour déterminer complètement la solution d’une EDO du quatrième ordre, combien de conditions initiales faut-il connaître ?

5. Dans un canal, la concentration varie selon la position et le temps; le modèle doit représenter à la fois le transport par l’écoulement et la dispersion. Quelle équation décrit cette évolution?

6. Une équipe applique le modèle d’advection-diffusion à un canal. Quel ensemble d’hypothèses respecte ce modèle?

7. Pour simuler la concentration dans un canal de l’entrée à la sortie, une ingénieure prépare le maillage spatial. Comment doit-elle découper le domaine?

8. Sur un maillage uniforme, le premier nœud a pour coordonnée $x_0=2$ et l’espacement vaut $\Delta x=0{,}5$ . Quelle est la coordonnée du nœud d’indice $i=4$ ?

9. Pour estimer la variation temporelle de la concentration au point $x$ à l’instant $t$ , quelle expression utilise la différence finie avant avec un pas $\Delta t$ ?

10. Pour approximer la dérivée seconde de la concentration en $x$ au nœud courant, quelle combinaison de trois nœuds et quel dénominateur faut-il utiliser ?

11. Dans un cas où la diffusion est négligée, avec $D=0$ , quelle expression explicite met à jour la concentration au nœud $i$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

La lumière : ondes et photons

Vecteurs et repères du plan

Intégration numérique

Lipides et fonctions biologiques

Racines carrées et théorème de Pythagore

Analyse du polymorphisme génétique

Crée tes propres QCM

QCM : Équations différentielles et discrétisation (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une concentration inconnue dépend du temps ttt et satisfait une équation faisant intervenir sa dérivée par rapport à ttt. De quel type d’équation s’agit-il ?

2. Une température inconnue dépend de la position (x,y)(x,y)(x,y) et du temps ttt, et l’équation relie cette fonction à ses dérivées. Quelle classification convient ?

3. Une équation contient des dérivées d’une fonction jusqu’à la troisième dérivée, mais aucune dérivée d’ordre supérieur. Quel est son ordre ?

4. Pour déterminer complètement la solution d’une EDO du quatrième ordre, combien de conditions initiales faut-il connaître ?

5. Dans un canal, la concentration varie selon la position et le temps; le modèle doit représenter à la fois le transport par l’écoulement et la dispersion. Quelle équation décrit cette évolution?

6. Une équipe applique le modèle d’advection-diffusion à un canal. Quel ensemble d’hypothèses respecte ce modèle?

7. Pour simuler la concentration dans un canal de l’entrée à la sortie, une ingénieure prépare le maillage spatial. Comment doit-elle découper le domaine?

8. Sur un maillage uniforme, le premier nœud a pour coordonnée x0=2x_0=2x0​=2 et l’espacement vaut Δx=0,5\Delta x=0{,}5Δx=0,5. Quelle est la coordonnée du nœud d’indice i=4i=4i=4?

9. Pour estimer la variation temporelle de la concentration au point xxx à l’instant ttt, quelle expression utilise la différence finie avant avec un pas Δt\Delta tΔt ?

10. Pour approximer la dérivée seconde de la concentration en xxx au nœud courant, quelle combinaison de trois nœuds et quel dénominateur faut-il utiliser ?

11. Dans un cas où la diffusion est négligée, avec D=0D=0D=0, quelle expression explicite met à jour la concentration au nœud iii ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

La lumière : ondes et photons

Vecteurs et repères du plan

Intégration numérique

Lipides et fonctions biologiques

Racines carrées et théorème de Pythagore

Analyse du polymorphisme génétique

Crée tes propres QCM

1. Une concentration inconnue dépend du temps $t$ et satisfait une équation faisant intervenir sa dérivée par rapport à $t$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

2. Une température inconnue dépend de la position $(x,y)$ et du temps $t$ , et l’équation relie cette fonction à ses dérivées. Quelle classification convient ?

8. Sur un maillage uniforme, le premier nœud a pour coordonnée $x_0=2$ et l’espacement vaut $\Delta x=0{,}5$ . Quelle est la coordonnée du nœud d’indice $i=4$ ?

9. Pour estimer la variation temporelle de la concentration au point $x$ à l’instant $t$ , quelle expression utilise la différence finie avant avec un pas $\Delta t$ ?

10. Pour approximer la dérivée seconde de la concentration en $x$ au nœud courant, quelle combinaison de trois nœuds et quel dénominateur faut-il utiliser ?

11. Dans un cas où la diffusion est négligée, avec $D=0$ , quelle expression explicite met à jour la concentration au nœud $i$ ?