Fiche de révision : Équations différentielles et discrétisation

📋 Plan du Cours

1. Classification des équations différentielles
2. Ordre et conditions initiales
3. Transport des polluants en canal
4. Maillage spatial et temporel
5. Différences finies et schémas numériques
6. Schéma explicite et advection dominante

📖 1. Classification des équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle ordinaire : Équation différentielle reliant une fonction inconnue dépendant d’une seule variable indépendante à une ou plusieurs dérivées de cette fonction.
• Équation aux dérivées partielles : Équation différentielle reliant une fonction inconnue dépendant de plusieurs variables indépendantes, telles que l’espace et/ou le temps, à ses dérivées.

💡 Astuce mémo

EDO : une variable indépendante ; EDP : plusieurs variables indépendantes.

📖 2. Ordre et conditions initiales

📝 Points essentiels

• L’ordre d’une EDO ou d’une EDP est l’ordre de la dérivée la plus élevée qui apparaît dans l’équation.

📌 La résolution complète d’une EDO d’ordre p nécessite la connaissance de p conditions initiales.

📖 3. Transport des polluants en canal

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation d’advection-diffusion : Équation modélisant l’évolution spatio-temporelle de la concentration d’un polluant dans un canal par l’advection et la diffusion : $\frac{\partial C}{\partial t}+U\frac{\partial C}{\partial x}-D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=0$.

📝 Points essentiels

• Le modèle repose sur les hypothèses suivantes : problème unidimensionnel, écoulement uniforme de vitesse constante U, dispersion ou diffusion hydro représentée par le coefficient D, absence de dégradation et de rejet du polluant

• Dans le modèle du canal, L désigne la longueur du canal et U la vitesse de l’écoulement.

💡 Astuce mémo

Advection et diffusion → évolution de la concentration C(x,t).

📖 4. Maillage spatial et temporel

★ À maîtriser

• La discrétisation spatiale découpe le domaine $[0,L]$ en N mailles de longueur égale.

📐 Formule - Les nœuds spatiaux sont définis par $x_i=x_0+i\Delta x$ pour $i=0,\ldots,N$.

Compléments

📐 Formule - La longueur d’une maille est $\Delta x=\frac{L}{N}$.

• La discrétisation temporelle utilise un pas de temps constant $\Delta t$ et un nombre $N_t$ de pas.

📐 Formule - Pour une durée totale T répartie sur N pas, le pas de temps vérifie $\Delta t=\frac{T}{N}$ et les instants sont donnés par $t^m=t^0+m\Delta t=m\Delta t$.

📖 5. Différences finies et schémas numériques

★ À maîtriser

📐 Formule - La différence finie avant en temps approxime la dérivée temporelle par $\frac{\partial C}{\partial t}\simeq\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t)}{\Delta t}$.

📐 Formule - La différence finie avant en espace approxime la dérivée première par $\frac{\partial C}{\partial x}\simeq\frac{C(x+\Delta x,t)-C(x,t)}{\Delta x}$.

📐 Formule - La différence finie centrée approxime la dérivée seconde par $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}\simeq\frac{C(x-\Delta x,t)-2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x^2}$.

Compléments

📌 Dans le schéma explicite, les termes spatiaux sont évalués au temps m, tandis que dans le schéma implicite ils sont évalués au temps m+1.

💡 Astuce mémo

Explicite : valeurs au temps m ; implicite : valeurs au temps m+1.

📖 6. Schéma explicite et advection dominante

★ À maîtriser

📐 Formule - Le schéma explicite d’advection-diffusion est $C_i^{m+1}=C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)+D\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(C_{i-1}^m-2C_i^m+C_{i+1}^m)$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque l’advection domine et que $D=0$, le schéma explicite devient $C_i^{m+1}=C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)$.

📌 Les conditions aux limites du problème sont $C(0,t)=0$ et $\left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{x=L}=0$.

• À l’instant initial, la concentration vaut C₀ pour $a\leq x\leq b$ et vaut zéro pour $x<a$ ou $x>b$.