Fiche de révision : Intégration numérique

📋 Plan du Cours

1. Méthodes élémentaires de quadrature
2. Quadrature de Gauss-Legendre

📖 1. Méthodes élémentaires de quadrature

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour la formule des rectangles, les approximations sont $h f(x_i)$ à gauche, $h f(x_{i+1})$ à droite et $h f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)$ au milieu, où $h=x_{i+1}-x_i$.

📐 Formule - La formule composite des trapèzes est $I_N=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{N-1}[f(x_i)+f(x_{i+1})]=\frac{h}{2}(f(x_0)+f(x_N))+h\sum_{i=1}^{N-1}f(x_i)$, avec $h=x_{i+1}-x_i$.

📐 Formule - Sur deux pas, la formule de Simpson est $\int_{x_i}^{x_{i+2}} f(x)\,dx\simeq\frac{h}{3}\left(f(x_i)+4f(x_{i+1})+f(x_{i+2})\right)$.

• La formule des rectangles approxime l’intégrale sur $[x_i,x_{i+1}]$ par l’aire d’un rectangle, avec un point d’évaluation à gauche, à droite ou au milieu.

Compléments

📐 Formule - Pour $N$ pair, la formule composite de Simpson est $I_N=\frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_N)+4\sum_{i=1}^{N/2}f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{N/2-1}f(x_{2i})\right)$.

• La formule des trapèzes utilise les valeurs de la fonction aux deux extrémités de chaque intervalle et correspond à deux points d’intégrale.

• La formule de Simpson approxime l’intégrale sur chaque intervalle de deux pas à partir de trois valeurs de la fonction, et utilise trois points d’intégrale.

📖 2. Quadrature de Gauss-Legendre

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de Legendre : Le polynôme de Legendre d’ordre $n$ est $L_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La quadrature de Gauss-Legendre transforme chaque intégrale sur $[x_i,x_{i+1}]$ en une intégrale sur $[-1{,}1]$, puis l’approche par $\frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n} A_j g(\xi_j)$, où $h=x_{i+1}-x_i$.

Compléments

📐 Formule - Les polynômes de Legendre donnés sont $L_1(x)=x$, $L_2(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}$ et $L_3(x)=\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x$.

• Pour $n=1$, le point de Gauss est $\xi_1=0$ et son poids est $A_1=2$.

• Pour $n=2$, les racines sont $\xi_2=-\xi_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$ et les poids sont $A_1=A_2=1$.