Fiche de révision : Vecteurs et repères du plan

📋 Plan du Cours

1. Translation et vecteurs
2. Caractéristiques et égalité des vecteurs
3. Vecteurs et parallélogrammes
4. Vecteurs et milieu d’un segment
5. Bases et repères du plan
6. Coordonnées dans un repère

📖 1. Translation et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation de vecteur : La translation qui envoie le point A sur le point B est appelée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

📝 Points essentiels

• Par la translation qui envoie A sur B, l’image D d’un point C est l’unique point tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.

📖 2. Caractéristiques et égalité des vecteurs

★ À maîtriser

• Un vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et la norme égale à la longueur du segment [AB].

📌 Deux vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, même si leurs origines et leurs extrémités diffèrent.

Compléments

• La norme du vecteur $\vec{u}$ se note $\|\vec{u}\|$.

📌 Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul si et seulement si A et B sont confondus : $\overrightarrow{AB}=\vec{0}\iff A=B$.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme

📖 3. Vecteurs et parallélogrammes

★ À maîtriser

📌 Pour quatre points distincts A, B, C et D, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Compléments

• Pour montrer que MATH est un parallélogramme, on peut établir que $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{HT}$.

📖 4. Vecteurs et milieu d’un segment

📝 Points essentiels

📌 Pour trois points distincts A, B et I, $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ si et seulement si I est le milieu du segment [AB].

📖 5. Bases et repères du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Base du plan : Une base du plan est un couple de vecteurs $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ qui n’ont pas la même direction.
• Repère du plan : Un repère du plan est un triplet $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ où O est l’origine et $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ une base, avec $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$.
• Repère orthogonal : Un repère $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ est orthogonal si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires.
• Repère orthonormal : Un repère $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ est orthonormal si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si $OI=OJ$.

💡 Astuce mémo

Orthogonal : angles droits ; orthonormal : angles droits et mêmes longueurs.

📖 6. Coordonnées dans un repère

★ À maîtriser

• Dans un repère, si A a pour coordonnées $(x_A,y_A)$ et B $(x_B,y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A,\ y_B-y_A)$.

📌 Dans une même base, deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales : $\vec{u}(x;y)=\vec{v}(x';y')\iff x=x'\text{ et }y=y'$.

📐 Formule - Dans un repère, le milieu I de [AB], avec A$(x_A,y_A)$ et B$(x_B,y_B)$, a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Compléments

• Dans le repère présenté, les coordonnées des points sont :
  • A(3 ; 2)
  • B(-2 ; 1)
  • C(4 ; 0)
  • D(2 ; -1)
  • E(0 ; -3)
  • F(-1,5 ; 2)