Flashcards : Équations différentielles et discrétisation (29 cartes)

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1Question

Quelles variables indépendantes caractérisent une équation différentielle ordinaire ?

Réponse

Une seule variable indépendante.

2Question

À quoi une équation différentielle ordinaire relie-t-elle la fonction inconnue ?

Réponse

À une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

3Question

Combien de variables indépendantes caractérisent une équation aux dérivées partielles ?

Réponse

Plusieurs variables indépendantes.

4Question

À quoi une équation aux dérivées partielles relie-t-elle la fonction inconnue ?

Réponse

À ses dérivées.

5Question

Comment détermine-t-on l’ordre d’une EDO ou d’une EDP ?

Réponse

Par l’ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l’équation.

6Question

Combien de conditions initiales faut-il pour résoudre complètement une EDO d’ordre $p$ ?

Réponse

Il faut $p$ conditions initiales.

7Question

Que modélise l’équation d’advection-diffusion dans un canal ?

Réponse

L’évolution spatio-temporelle de la concentration d’un polluant par advection et diffusion.

8Question

En combien de mailles égales la discrétisation spatiale découpe-t-elle $[0,L]$ ?

Réponse

$N$ mailles.

9Question

Comment calcule-t-on les nœuds spatiaux $x_i$ ?

Réponse

$x_i=x_0+i\Delta x$ pour $i=0,\ldots,N$ .

10Question

Quelle approximation la différence finie avant en temps donne-t-elle pour $\frac{\partial C}{\partial t}$ ?

Réponse

$\frac{C(x,t+\Delta t)-C(x,t)}{\Delta t}$

11Question

Quelle approximation la différence finie centrée donne-t-elle pour $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$ ?

Réponse

$\frac{C(x-\Delta x,t)-2C(x,t)+C(x+\Delta x,t)}{\Delta x^2}$

12Question

Quelle est la formule du schéma explicite d’advection-diffusion pour $C_i^{m+1}$ ?

Réponse

$C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)+D\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(C_{i-1}^m-2C_i^m+C_{i+1}^m)$

13Question

Quelle dimension spatiale suppose le modèle d’advection-diffusion ?

Réponse

Une dimension.

14Question

Quelle vitesse d’écoulement suppose le modèle d’advection-diffusion ?

Réponse

Une vitesse constante $U$ dans un écoulement uniforme.

15Question

Quel phénomène le coefficient $D$ représente-t-il dans le modèle d’advection-diffusion ?

Réponse

La dispersion ou diffusion hydrodynamique.

16Question

Quelles sources ou transformations du polluant le modèle d’advection-diffusion exclut-il ?

Réponse

La dégradation et le rejet du polluant.

17Question

Que désigne $L$ dans le modèle du canal ?

Réponse

La longueur du canal.

18Question

Que désigne $U$ dans le modèle du canal ?

Réponse

La vitesse de l’écoulement.

19Question

Quels paramètres caractérisent le maillage temporel ?

Réponse

Un pas constant $\Delta t$ et $N_t$ pas.

20Question

Quelle formule donne le pas de temps pour une durée $T$ répartie sur $N$ pas ?

Réponse

$\Delta t=\frac{T}{N}$

21Question

Comment exprime-t-on les instants $t^m$ en fonction de l’indice temporel ?

Réponse

$t^m=t^0+m\Delta t=m\Delta t$ .

22Question

À quel temps les termes spatiaux sont-ils évalués dans le schéma explicite ?

Réponse

Au temps $m$ .

23Question

À quel temps les termes spatiaux sont-ils évalués dans le schéma implicite ?

Réponse

Au temps $m+1$ .

24Question

Quelle formule donne $C_i^{m+1}$ lorsque l’advection domine et que $D=0$ ?

Réponse

$C_i^m-U\frac{\Delta t}{\Delta x}(C_i^m-C_{i-1}^m)$

25Question

Quelle condition le problème impose-t-il à la concentration en $x=0$ ?

Réponse

$C(0,t)=0$

26Question

Quelle condition le problème impose-t-il à la dérivée spatiale en $x=L$ ?

Réponse

$\left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{x=L}=0$

27Question

Comment la différence finie avant en espace approxime-t-elle la dérivée première de $C$ ?

Réponse

$\frac{C(x+\Delta x,t)-C(x,t)}{\Delta x}$

28Question

Quelle est la longueur d’une maille en fonction de $L$ et $N$ ?

Réponse

$\Delta x=\frac{L}{N}$ .

29Question

Quelle est la concentration initiale sur l’intervalle $[a,b]$ ?

Réponse

$C_0$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 11 questions sur Équations différentielles et discrétisation.

1. Une concentration inconnue dépend du temps $t$ et satisfait une équation faisant intervenir sa dérivée par rapport à $t$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

2. Une température inconnue dépend de la position $(x,y)$ et du temps $t$ , et l’équation relie cette fonction à ses dérivées. Quelle classification convient ?

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