Fiche de révision : Intervalles et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Lire et résoudre une inégalité
2. Définir un intervalle
3. Noter les bornes
4. Représenter sur une droite
5. Intervalles non bornés

📖 1. Lire et résoudre une inégalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité : Compare des valeurs et peut déterminer les valeurs possibles d’une variable, comme $1 \leq x < 5$, qui signifie que x est supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 5.

★ À maîtriser

📌 Dans $1 \leq x < 5$, la valeur 1 est autorisée car x peut lui être égal, tandis que la valeur 5 est exclue car x doit être strictement inférieur à 5.

Compléments

• L’inégalité $1 \leq x < 5$ admet une infinité de solutions, parmi lesquelles 1, 2, 2,5 et 4,87, mais pas 5.

💡 Astuce mémo

« ou égal » inclut la borne, « strictement » l’exclut

📖 2. Définir un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres compris entre deux bornes.

★ À maîtriser

• Pour noter un intervalle, on écrit ses deux bornes séparées par un point-virgule et entourées de crochets indiquant si elles sont incluses ou exclues.

Compléments

• Le symbole $\in$ signifie « appartient à » et indique qu’une valeur appartient à l’intervalle considéré.

📖 3. Noter les bornes

📝 Points essentiels

📌 Un crochet tourné vers l’intérieur indique que la borne est incluse dans l’intervalle, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur indique qu’elle en est exclue.

• L’intervalle dont les bornes sont -2 exclue et 2 incluse s’écrit $]-2\,;\,2]$ et correspond à $-2 < x \leq 2$.

📌 Une borne incluse correspond à un signe « inférieur ou égal » ou « supérieur ou égal », tandis qu’une borne exclue correspond à un signe strict.

💡 Astuce mémo

Crochet intérieur = borne incluse ; crochet extérieur = borne exclue

📖 4. Représenter sur une droite

★ À maîtriser

• Pour représenter un intervalle sur une droite graduée, on place les bornes, on surligne la portion comprise entre elles, puis on ajoute les crochets dans le sens correspondant à leur inclusion ou leur exclusion.

Compléments

• L’intervalle $]-2\,;\,2]$ se représente par une portion surlignée entre -2 et 2, avec un crochet extérieur en -2 et un crochet intérieur en 2.

💡 Astuce mémo

Borne → portion coloriée → crochets

📖 5. Intervalles non bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Infini : Représente une direction sans borne finie, vers des valeurs toujours plus petites pour $-\infty$ ou toujours plus grandes pour $+\infty$.

★ À maîtriser

📌 Un intervalle utilisant $+\infty$ ou $-\infty$ possède toujours un crochet tourné vers l’extérieur, car l’infini n’est jamais inclus.

• L’inégalité $x \leq 3$ correspond à l’intervalle $]-\infty\,;\,3]$, tandis que $x < 4$ correspond à $]-\infty\,;\,4[$.

Compléments

• L’intervalle $]0\,;\,+\infty[$ correspond à tous les nombres strictement supérieurs à 0, car 0 est exclu et l’intervalle se prolonge vers les valeurs positives sans borne finie.

💡 Astuce mémo

Une demi-droite qui part vers l’infini, avec un crochet toujours tourné vers l’extérieur

📊 Tableaux de synthèse

Correspondance bornes et signes