Fiche de révision : Introduction au calcul des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et opérations ensemblistes
2. Expérience aléatoire et univers
3. Axiomes et propriétés des probabilités
4. Probabilités conditionnelles
5. Probabilités totales et théorème de Bayes
6. Événements indépendants

📖 1. Ensembles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments communs à deux ensembles A et B.
• Réunion : Rassemble les éléments contenus dans A ou dans B.
• Complémentaire : Contient les éléments qui ne sont pas dans A.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble fini contient un nombre fini d’éléments, un ensemble infini dénombrable possède des éléments qui peuvent être numérotés, et un ensemble infini non dénombrable possède des éléments qui ne peuvent pas être numérotés.

• Deux ensembles A et B sont incompatibles ou disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément commun, soit A ∩ B = ∅.

Compléments

• Les lois de De Morgan sont Ā ∩ B̄ = (A ∪ B)̄ et Ā ∪ B̄ = (A ∩ B)̄.

📖 2. Expérience aléatoire et univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fondamental : Ensemble de tous les événements élémentaires possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : Résultat possible d’une expérience aléatoire donnée.

★ À maîtriser

📌 Une expérience déterministe produit un résultat régi par une loi connue, tandis qu’une expérience aléatoire donne un résultat qui n’est pas connu avec certitude.

Compléments

• L’événement certain est E et l’événement impossible est ∅.

• Pour un ensemble fondamental fini ou infini dénombrable, tout sous-ensemble est un événement ; pour un univers non dénombrable, un événement est un intervalle ou une combinaison d’intervalles.

📖 3. Axiomes et propriétés des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Une probabilité P associe à chaque événement une valeur de [0,1], vérifie 0 ≤ P(A) ≤ 1 et P(E) = 1, et est additive pour deux événements incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout événement A, $P(\bar A)=1-P(A)$.

📐 Formule - Pour deux événements quelconques A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• La probabilité de l’événement impossible est P(∅) = 0.

• Si P(MA) = 0,44, P(MB) = 0,65 et P(MA ∩ MB) = 0,26, alors la probabilité d’être atteint d’au moins une des deux maladies est P(MA ∪ MB) = 0,83.

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Pour P(B) ≠ 0, la probabilité de A sachant B est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité d’une intersection vérifie $P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)=P(A\mid B)P(B)$.

Compléments

📌 P(A) est la probabilité a priori, tandis que P(A|B) est la probabilité a posteriori après prise en compte de B.

• Si B ⊆ A et P(B) ≠ 0, alors P(A|B) = 1.

• Si P(B ∩ C) = 0,14 et P(B) = 0,37, alors la probabilité d’une attaque par des champignons sachant une attaque bactérienne est P(C|B) = 0,14 ÷ 0,37 = 0,378.

💡 Astuce mémo

À savoir : probabilité conjointe A∩B ≠ probabilité conditionnelle A sachant B.

📖 5. Probabilités totales et théorème de Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille de parties deux à deux disjointes dont la réunion est S, de sorte que chaque élément de S appartient à une seule partie.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A₁, …, Aₙ partitionnent S, alors pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(B\mid A_i)P(A_i)$.

📐 Formule - Pour une partition A₁, …, Aₙ et P(B) > 0, la formule de Bayes donne $P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{P(B)}$.

Compléments

• La formule de Bayes permet d’évaluer les probabilités des causes Aᵢ susceptibles d’avoir produit l’événement observé B, notamment en diagnostic de maladies ou de pannes.

• Dans l’exemple de douleur abdominale aiguë, les causes CH, CN et AA ont respectivement des probabilités 25 %, 25 % et 50 %, et leurs probabilités conditionnelles de fièvre sont 10 %, 15 % et 20 % ; la probabilité de fièvre est 0,1625.

💡 Astuce mémo

Partition des causes → probabilité de l’événement, puis Bayes remonte de l’événement aux causes.

📖 6. Événements indépendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Lorsque la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur celle de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Compléments

📌 L’indépendance de A et B équivaut à P(A|B) = P(A) ou, de façon équivalente, à P(B|A) = P(B), lorsque les probabilités conditionnelles sont définies.

• Si P(B) = 0,14, P(V) = 0,20 et P(B ∪ V) = 0,31, alors P(B ∩ V) = 0,03, différent de P(B)P(V) = 0,028 ; les infections bactérienne et virale sont donc dépendantes.

💡 Astuce mémo

Indépendants : peuvent se produire ensemble ; incompatibles : ne peuvent pas se produire ensemble.