Fiche de révision : Le cosinus en triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Condition d’utilisation du cosinus
2. Repérer les côtés du triangle
3. Définition et propriétés du cosinus
4. Utiliser la calculatrice
5. Valeurs impossibles du cosinus
6. Calculer une longueur
7. Calculer un angle

📖 1. Condition d’utilisation du cosinus

★ À maîtriser

📌 Le cosinus s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.

Compléments

• Dans un triangle rectangle ABC rectangle en B, les angles A et C sont les deux angles aigus auxquels on peut associer un cosinus.

📖 2. Repérer les côtés du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit et le plus grand côté du triangle rectangle
• Côté adjacent : le côté qui forme l’angle avec lui sans être l’hypoténuse

📝 Points essentiels

📌 Pour un angle aigu donné, les deux côtés qui délimitent l’angle sont adjacents, mais un seul est appelé côté adjacent car l’autre est l’hypoténuse.

• Quand on choisit l’autre angle aigu d’un triangle rectangle, les côtés adjacent et opposé s’échangent, mais l’hypoténuse reste la même.

💡 Astuce mémo

L’hypoténuse reste fixe, tandis que l’adjacent change avec l’angle choisi.

📖 3. Définition et propriétés du cosinus

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle est égal à $\cos(\text{angle})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

• Le cosinus d’un angle ne dépend que de la mesure de cet angle, même si la forme et les longueurs du triangle rectangle changent.

Compléments

• Pour un angle de 60 degrés, le rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse vaut 0,5 dans les exemples donnés.

💡 Astuce mémo

CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse.

📖 4. Utiliser la calculatrice

★ À maîtriser

• Pour calculer le cosinus d’un angle connu, la calculatrice doit être utilisée avec la touche cosinus, en entrant la mesure de l’angle.

• Pour retrouver un angle dont le cosinus est connu, il faut utiliser la fonction inverse du cosinus, notée cos⁻¹, arccos ou acos selon la calculatrice.

Compléments

• La calculatrice donne cos(12°) ≈ 0,98 après un arrondi au centième.

• Si le cosinus d’un angle vaut 0,1, la calculatrice donne environ 84,2 degrés, soit environ 84 degrés après arrondi au degré.

💡 Astuce mémo

Cosinus connu → cos ; angle inconnu → cos⁻¹.

📖 5. Valeurs impossibles du cosinus

★ À maîtriser

📌 Le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle est toujours inférieur ou égal à 1, car il est le quotient d’un côté adjacent inférieur ou égal à l’hypoténuse par l’hypoténuse.

Compléments

• La calculatrice renvoie une erreur lorsqu’on cherche un angle dont le cosinus serait égal à 1,3.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse plus grande que l’adjacent → quotient inférieur ou égal à 1.

📖 6. Calculer une longueur

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour calculer une longueur inconnue :

  1. Écrire la formule du cosinus
  2. Remplacer par les valeurs connues
  3. Résoudre par produit en croix
  4. Arrondir le résultat

• Dans un triangle rectangle ABC rectangle en B, si l’angle C mesure 30 degrés et si BC mesure 5 cm, alors $\cos(30°)=\frac{5}{CA}$.

• Dans cet exemple, la longueur CA vaut environ 5,8 cm après calcul de $\frac{5}{\cos(30°)}$ et arrondi au dixième.

💡 Astuce mémo

Formule → remplacement → produit en croix → arrondi.

📖 7. Calculer un angle

★ À maîtriser

• Pour calculer un angle inconnu, on identifie les côtés adjacent et hypoténuse, on écrit leur quotient, puis on utilise la fonction cos⁻¹ de la calculatrice et on arrondit.

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si AB mesure 4 et BC mesure 7, alors, pour l’angle B, $\cos(B)=\frac{4}{7}$.

• Dans cet exemple, la fonction cos⁻¹ donne B ≈ 55,15 degrés, soit B ≈ 55 degrés après arrondi au degré.

Compléments

📌 Pour limiter les erreurs d’arrondi, il est préférable d’entrer directement le quotient exact 4/7 dans la calculatrice avant d’utiliser cos⁻¹.

💡 Astuce mémo

Repérer adjacent et hypoténuse → quotient → cos⁻¹ → arrondi.