Fiche de révision : Proportionnalité et expressions littérales

📋 Plan du Cours

1. Situations de proportionnalité
2. Produits en croix et tableaux
3. Pourcentages et évolutions
4. Ratios et partage proportionnel
5. Écriture et valeur littérales
6. Réduction et distributivité
7. Double distributivité et identité

📖 1. Situations de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs dont les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité.
• Tableau de proportionnalité : Tableau permettant de passer des nombres de la première ligne à ceux de la seconde en multipliant par un même coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

📌 Une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l’origine du repère, et tout graphique dont les points sont alignés avec l’origine représente une situation de proportionnalité.

Compléments

• Dans le tableau reliant 0,5 h, 2 h, 5 h et 24 h à 30 Wh, 120 Wh, 300 Wh et 1440 Wh, le coefficient de proportionnalité est 60, ce qui représente l’énergie consommée en une heure.

💡 Astuce mémo

Points alignés avec l’origine = proportionnalité ; alignés ailleurs ou non alignés = non-proportionnalité

📖 2. Produits en croix et tableaux

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un tableau de proportionnalité, les quatre valeurs vérifient $a \times d=b \times c$.

• Pour calculer une quatrième proportionnelle, on utilise l’égalité des produits en croix puis on isole la valeur inconnue.

Compléments

• Avec 5 L de peinture pour 12 m², 17 L permettent de peindre 40,8 m², car $x=\frac{17\times12}{5}=40{,}8$.

📌 Dans un tableau de proportionnalité, la somme ou la différence de deux colonnes donne une nouvelle colonne, et multiplier ou diviser une colonne par un nombre non nul donne aussi une nouvelle colonne.

💡 Astuce mémo

Trois valeurs connues → produit en croix → quatrième proportionnelle

📖 3. Pourcentages et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Exprimer une proportion sous la forme d’une fraction de dénominateur 100.

★ À maîtriser

📐 Formule - Appliquer un pourcentage de t % à une quantité revient à la multiplier par $\frac{t}{100}$.

📐 Formule - Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par $1+\frac{t}{100}$, tandis que la diminuer de t % revient à la multiplier par $1-\frac{t}{100}$.

Compléments

• Dans un muffin de 60 g contenant 9 % de sucre, la masse de sucre est $60\times\frac{9}{100}=5{,}4$ g.

• Un prix de 2 €/L augmenté de 30 % devient 2,60 €/L, tandis qu’un pull de 90 € soldé de 30 % devient 63 €.

💡 Astuce mémo

Pourcentage appliqué → multiplication par t/100 ; hausse ou baisse → coefficient multiplicateur

📖 4. Ratios et partage proportionnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio : Deux nombres positifs a et b sont dans le ratio i : j lorsque $\frac{a}{b}=\frac{i}{j}$, et trois nombres positifs a, b et c sont dans le ratio i : j : k lorsque $\frac{a}{i}=\frac{b}{j}=\frac{c}{k}$.

📝 Points essentiels

• Si a et b sont dans le ratio 3 : 4, alors a représente 3/7 de a+b et b représente 4/7 de a+b.

• Si a, b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 7, alors a, b et c représentent respectivement 2/12, 3/12 et 7/12 de a+b+c.

💡 Astuce mémo

Un partage en parts : le ratio donne le nombre de parts de chaque quantité

📖 5. Écriture et valeur littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Expression mathématique dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.
• Valeur d’une expression littérale : Remplacer chaque lettre par le nombre donné afin d’effectuer le calcul numérique.
• Développement : Transformer un produit algébrique en somme algébrique.

★ À maîtriser

📌 Le produit 2×a s’écrit 2a, le produit 5×(a+3) s’écrit 5(a+3), a×a s’écrit a² et a×a×a s’écrit a³.

Compléments

• Les écritures usuelles sont :
  • nombre pair : 2k
  • nombre impair : 2k+1
  • multiple de 3 : 3k
  • multiple de 4 : 4k
  • entier suivant : k+1
  • entier précédent : k-1

💡 Astuce mémo

Écrire, remplacer, développer : ERD

📖 6. Réduction et distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction : Écrire une expression avec le moins de termes possible en regroupant les termes de même nature.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La distributivité simple vérifie $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

📌 Soustraire une expression entre parenthèses revient à ajouter l’opposé de chacun de ses termes, ainsi $a-(b+c)=a+(-b)+(-c)$.

💡 Astuce mémo

Supprimer les parenthèses → regrouper les termes semblables → réduire

📖 7. Double distributivité et identité

★ À maîtriser

📐 Formule - La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - L’identité remarquable vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de $(-3+2x)(7-4x)$ donne $-8x^2+26x-21$ après développement et réduction.

• Les expressions $(x+4)(x-4)$ et $(2x+5)(2x-5)$ deviennent respectivement $x^2-16$ et $4x^2-25$.

💡 Astuce mémo

Double distributivité développe quatre produits ; identité remarquable oppose deux carrés

📊 Tableaux de synthèse

Évolutions en pourcentage

Techniques algébriques