Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Nombres décimaux
2. Nombres rationnels
3. Usages des fractions
4. Nombres irrationnels et réels
5. Reconnaître les ensembles

📖 1. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$ ; son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

★ À maîtriser

• L’ensemble des nombres décimaux est noté Δ et contient les nombres entiers, qui peuvent s’écrire avec une partie décimale nulle comme 4 = 4,0 = 4,00.

Compléments

• Le nombre $\frac{1}{3}=1{,}333\ldots$ n’est pas un nombre décimal, car son écriture décimale est infinie.

• Pour additionner 2,36 kg et 500 g, il faut convertir les unités : 500 g = 0,5 kg, donc 2,36 kg + 0,5 kg = 2,86 kg.

💡 Astuce mémo

Décimal fini, contrairement au décimal infini

📖 2. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{Z}^*$ et $q\neq0$.

★ À maîtriser

📌 Les nombres entiers et les nombres décimaux sont rationnels, mais certains rationnels comme $\frac{1}{3}$ ne sont ni décimaux ni entiers.

Compléments

• Pour déterminer si un nombre est décimal, on cherche une écriture décimale finie ; pour déterminer s’il est rationnel, on cherche une écriture sous la forme d’une fraction de deux entiers avec un dénominateur non nul.

💡 Astuce mémo

Une fraction avec un dénominateur non nul

📖 3. Usages des fractions

★ À maîtriser

• Les fractions représentent: le partage d’une unité en plusieurs parts égales, les proportions, une indication de l’heure, la mesure de volumes

Compléments

• Pour l’ordinateur de 529 €, les parents paient $\frac{2}{5}$, le parrain et la marraine paient chacun $\frac{1}{6}$, soit $\frac{22}{30}$ du prix ; il reste environ 141,07 € à payer.

📖 4. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Nombre réel qui ne peut pas s’écrire sous une forme rationnelle et dont l’écriture décimale est infinie sans suivre de logique.

📝 Points essentiels

📌 Les inclusions s’écrivent $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\Delta\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, mais les inclusions réciproques sont fausses.

• L’ensemble des réels contient les entiers naturels, les entiers relatifs, les décimaux, les rationnels et les irrationnels.

• Le nombre $\sqrt{2}=1{,}414213562373\ldots$ est irrationnel, car il ne peut pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$.

💡 Astuce mémo

Naturels ⊂ entiers ⊂ décimaux ⊂ rationnels ⊂ réels

📖 5. Reconnaître les ensembles

★ À maîtriser

📌 $\frac{7}{4}$ est un nombre décimal, tandis que $\frac{7}{9}$ est rationnel mais non décimal.

• π est un nombre irrationnel.

Compléments

• −0,7 est un nombre décimal.

• −13 appartient à l’ensemble des réels et −144 appartient à l’ensemble des entiers relatifs.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres