QCM : Les ensembles de nombres — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des écritures caractérise un nombre décimal ?

Une somme de deux nombres entiers de signes quelconques
Une expression dont les chiffres après la virgule se répètent
Une fraction pq\frac{p}{q} avec p,q∈Np,q\in\mathbb{N} et q>1q>1
Une fraction a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}

Une fraction $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, ce qui produit une écriture décimale finie. Une fraction de deux entiers caractérise plus largement un nombre rationnel, sans garantir une écriture décimale finie.

2. Pourquoi 13\frac{1}{3} n’est-il pas un nombre décimal ?

Son numérateur n’est pas un nombre entier positif
Son dénominateur n’est pas une puissance de dix écrite sous forme décimale
Sa valeur est supérieure à un nombre entier
Son écriture décimale comporte une infinité de chiffres après la virgule

Son écriture décimale comporte une infinité de chiffres après la virgule

Explication

On a 13=1,333…\frac{1}{3}=1,333\ldots, une écriture décimale infinie, alors qu’un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres après la virgule. Le nombre reste toutefois rationnel, car il est le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.

3. Quelle condition permet de reconnaître un nombre rationnel ?

Il possède une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres
Il est nécessairement représenté par une fraction dont le dénominateur vaut 10
Il peut s’écrire sous la forme pq\frac{p}{q} avec p∈Zp\in\mathbb{Z} et q∈Z∗q\in\mathbb{Z}^*
Il peut s’écrire comme une fraction de deux nombres naturels distincts

Il peut s’écrire sous la forme $$\frac{p}{q}$$ avec $$p\in\mathbb{Z}$$ et $$q\in\mathbb{Z}^*$$

Explication

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Une écriture décimale finie constitue un cas particulier, mais certains rationnels ont une écriture décimale infinie.

4. Laquelle de ces affirmations décrit correctement le lien entre nombres décimaux et nombres rationnels ?

Tout nombre rationnel est décimal, mais certains décimaux ne sont pas entiers
Les nombres décimaux et rationnels sont deux ensembles sans élément commun
Tout nombre décimal est rationnel, mais certains rationnels ne sont pas décimaux
Un nombre décimal ne peut pas être entier, car sa partie décimale est non nulle

Tout nombre décimal est rationnel, mais certains rationnels ne sont pas décimaux

Explication

Tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction de deux entiers, donc il est rationnel. En revanche, 13\frac{1}{3} est rationnel sans être décimal, car son écriture décimale est infinie.

5. Quelle est la définition d’un nombre rationnel ?

Un nombre qui peut s’écrire sous la forme pq\frac{p}{q} avec pp et qq entiers, et q≠0q \neq 0.
Un nombre dont l’écriture décimale est infinie et non périodique.
Un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
Un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

Un nombre qui peut s’écrire sous la forme $$\frac{p}{q}$$ avec $$p$$ et $$q$$ entiers, et $$q \neq 0$$.

Explication

Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme pq\frac{p}{q} avec pp et qq entiers, et qq non nul. La deuxième option décrit un nombre irrationnel, et la quatrième décrit un nombre décimal fini, qui est aussi rationnel.

6. Quel est le chiffre exact de la racine carrée de 2, qui prouve son caractère irrationnel ?

3,141592653589
1,414213562373
2,718281828459
1,732050807568

1,414213562373

Explication

La valeur approximative de oot22 oot 2 \textstyle 2 est 1,4142135623731,414213562373, ce qui montre qu’elle ne peut pas s’écrire sous une forme rationnelle. La valeur 1,7320508075681,732050807568 correspond à oot33 oot 3 \textstyle 3, une racine cubique, et non à oot22 oot 2 \textstyle 2.

7. Quel est le rôle principal des fractions dans la représentation des quantités ?

Exprimer uniquement des parts d’un tout, sans autre usage.
Servir uniquement à représenter des proportions dans des contextes mathématiques.
Remplacer les nombres décimaux dans toutes les situations numériques.
Partager une unité en parts égales, indiquer des proportions, donner l’heure ou mesurer des volumes.

Partager une unité en parts égales, indiquer des proportions, donner l’heure ou mesurer des volumes.

Explication

Les fractions sont utilisées pour partager une unité en parts égales, indiquer des proportions, donner l’heure ou mesurer des volumes. Elles ne se limitent pas à une seule fonction, contrairement à ce que suggèrent certains distracteurs.

8. En quoi la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel réside-t-elle principalement ?

Un nombre décimal est toujours un nombre entier, alors qu’un rationnel peut être une fraction.
Un nombre décimal a une écriture décimale finie, tandis qu’un rationnel peut avoir une écriture décimale infinie non périodique.
Un nombre décimal ne peut pas être représenté par une fraction, contrairement à un rationnel.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za \in \mathbb{Z}, alors qu’un rationnel ne peut pas.

Un nombre décimal a une écriture décimale finie, tandis qu’un rationnel peut avoir une écriture décimale infinie non périodique.

Explication

Un nombre décimal possède une écriture décimale finie, ce qui le distingue d’un rationnel dont l’écriture peut être infinie et périodique. La différence principale réside dans la nature de leur représentation décimale.

9. Quelles sont les principales caractéristiques d’un nombre décimal fini ?

Il ne peut pas être un nombre entier.
Sa représentation décimale comporte une infinité de chiffres après la virgule sans répétition.
Il peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a et na \text{ et } n entiers, et sa partie décimale est finie.
Il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction avec deux entiers.

Il peut s’écrire sous la forme $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a \text{ et } n$$ entiers, et sa partie décimale est finie.

Explication

Un nombre décimal fini peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, avec aa et nn entiers, et sa partie décimale comporte un nombre fini de chiffres. La représentation infinie sans motif répétitif concerne les décimaux infinis, pas finis.

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Comment s'écrit un nombre décimal sous forme fractionnaire ?

Sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre qui s'écrit sous la forme pq\frac{p}{q} avec p∈Zp\in\mathbb{Z} et q∈Z∗q\in\mathbb{Z}^*.

Pourquoi 13\frac{1}{3} n'est-il pas un nombre décimal ?

Parce que son écriture décimale est infinie.

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