QCM : Suites numériques et limites — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on une suite numérique (un)(u_n) ?

Comme une fonction de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R} associant un terme à chaque indice
Comme une fonction de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N} associant un indice à chaque terme
Comme une fonction de N\mathbb{N} vers N\mathbb{N} associant un réel à chaque indice
Comme une fonction de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R} définissant un terme pour chaque réel

Comme une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$ associant un terme à chaque indice

Explication

Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels et à valeurs réelles, qui associe à chaque indice un terme. La deuxième proposition inverse les ensembles de départ et d'arrivée.

2. Laquelle des expressions décrit une relation explicite pour une suite (un)(u_n) ?

∀n∈N, un=f(n)\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=f(n)
u0=f(0) et un+1=f(un)u_0=f(0)\ \text{et}\ u_{n+1}=f(u_n)
un=f(un−1) pour n≥1u_n=f(u_{n-1})\ \text{pour}\ n\geq 1
un+1=un+f(n)u_{n+1}=u_n+f(n)

$$\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=f(n)$$

Explication

Dans une relation explicite, le terme est obtenu directement à partir de l'indice selon un=f(n)u_n=f(n). Les autres relations utilisent un terme précédent et sont donc de nature récurrente.

3. Quelles données définissent une suite récurrente d'ordre 1 ?

Une valeur initiale u1u_1 et la relation un=f(n)u_n=f(n)
Deux termes successifs u0,u1u_0,u_1 sans relation entre eux
Une valeur initiale u0u_0 et la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
Une fonction ff et la relation un=f(n+1)u_n=f(n+1)

Une valeur initiale $$u_0$$ et la relation $$u_{n+1}=f(u_n)$$

Explication

Une suite récurrente d'ordre 1 nécessite un terme initial et une règle qui calcule chaque terme à partir du précédent. La relation un=f(n)u_n=f(n) correspond, elle, à une définition explicite.

4. Que décrit la limite d'une suite (un)(u_n) ?

Le comportement des termes lorsque nn tend vers +∞+\infty
La différence entre deux termes consécutifs lorsque l'indice vaut zéro
La valeur exacte du terme correspondant à un indice fixé
La valeur de l'indice qui produit un terme donné

Le comportement des termes lorsque $$n$$ tend vers $$+\infty$$

Explication

La limite décrit l'évolution globale des termes quand l'indice devient arbitrairement grand. Un terme d'indice fixé constitue une valeur particulière et ne représente pas cette limite.

5. Quelles opérations sur les limites sont étudiées pour combiner des suites ?

La limite d'une moyenne, d'un écart et d'une valeur absolue
La limite d'une différence, d'une puissance et d'une racine
La limite d'une somme, d'un produit et d'un quotient
La limite d'une dérivée, d'une intégrale et d'une composée

La limite d'une somme, d'un produit et d'un quotient

Explication

Les opérations étudiées portent sur les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient. Les autres regroupements contiennent des opérations qui ne correspondent pas à cette liste du cours.

6. Quelle méthode permet d'étudier la limite d'une suite en reliant ses termes à d'autres suites connues ?

Déterminer la différence entre deux indices successifs
Remplacer chaque terme par son indice correspondant
Calculer uniquement le premier terme de la suite
Comparer ou encadrer les termes de la suite

Comparer ou encadrer les termes de la suite

Explication

Le théorème de comparaison et d'encadrement permet de déduire une limite en situant les termes entre des expressions ou suites appropriées. Le calcul d'un premier terme ne renseigne pas sur le comportement lorsque l'indice tend vers l'infini.

7. Quelle est la limite de qnq^n lorsque 0<q<10<q<1 et que nn tend vers +∞+\infty ?

00
Elle n'existe pas
+∞+\infty
11

$$0$$

Explication

Pour une raison strictement comprise entre zéro et un, les puissances successives de qq se rapprochent de zéro. La limite égale à 11 correspond au cas q=1q=1, tandis que la divergence vers +∞+\infty correspond à q>1q>1.

8. Quelle relation définit une suite arithmético-géométrique ?

un+1=un+bu_{n+1}=u_n+b avec une valeur initiale u0u_0
un=an+bu_n=an+b pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
un+1=aunu_{n+1}=au_n avec une valeur initiale u0u_0
un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b avec une valeur initiale u0u_0

$$u_{n+1}=au_n+b$$ avec une valeur initiale $$u_0$$

Explication

Une suite arithmético-géométrique combine une multiplication par aa et l'ajout de la constante bb, avec une valeur initiale. La relation un+1=aunu_{n+1}=au_n décrit une suite géométrique sans terme ajouté.

9. Dans la représentation graphique d'une suite arithmético-géométrique, quel rôle joue la droite y=xy=x ?

Elle permet de reporter graphiquement les valeurs successives
Elle remplace la courbe de la fonction ff
Elle donne directement le passage de unu_n à un+1u_{n+1}
Elle fournit la valeur initiale avant toute construction

Elle permet de reporter graphiquement les valeurs successives

Explication

La droite y=xy=x sert à transférer graphiquement une valeur obtenue sur un axe vers l'autre axe afin de poursuivre la construction. C'est la courbe de ff qui représente le passage de unu_n à un+1u_{n+1}.

10. Pour une suite définie par un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b avec a≠1a\neq 1, quelle valeur faut-il poser pour déterminer le point fixe associé ?

c=b1−ac=\frac{b}{1-a}
c=1−abc=\frac{1-a}{b}
c=a1−bc=\frac{a}{1-b}
c=ba−1c=\frac{b}{a-1}

$$c=\frac{b}{1-a}$$

Explication

Le réel associé est défini par c=b1−ac=\frac{b}{1-a}, ce qui correspond à la valeur vérifiant l'équation de point fixe. L'expression ba−1\frac{b}{a-1} possède le signe opposé et ne vérifie pas cette relation.

11. Quelle démarche permet d'obtenir le terme général d'une suite arithmético-géométrique ?

Poser vn=un+cv_n=u_n+c, montrer que (vn)(v_n) est arithmétique, puis retrouver unu_n
Poser vn=un−cv_n=u_n-c, montrer que (vn)(v_n) est géométrique, puis retrouver unu_n
Calculer quelques termes, puis remplacer l'indice par le dernier terme obtenu
Développer directement un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b sans introduire de nouvelle suite

Poser $$v_n=u_n-c$$, montrer que $$(v_n)$$ est géométrique, puis retrouver $$u_n$$

Explication

La translation vn=un−cv_n=u_n-c transforme la relation arithmético-géométrique en une relation géométrique, ce qui permet ensuite de retrouver unu_n. Une simple liste de termes ne constitue pas une démonstration du terme général.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Suites numériques et limites.

Qu'est-ce qu'une suite numérique (uₙ) ?

Une fonction de ℕ vers ℝ associant à chaque n un terme uₙ.

Comment s'écrit la relation explicite d'une suite (uₙ) ?

∀n∈N, un=f(n)\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=f(n).

Comment est définie une suite récurrente d'ordre 1 ?

Par une valeur initiale u₀ et une relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Suites numériques et limites.

Voir la fiche →

Cours similaires

Division cellulaire et réplication de l’ADN

SVT

Le temps en géologie

Notions clés des probabilités

Mathématiques

Les ensembles de nombres

Mathématiques

Rappels sur les suites numériques

Mathématiques

Optique géométrique et lumière

Physique

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM