QCM : Rappels sur les suites numériques — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle décrit correctement une suite numérique (un)(u_n) ?

Un ensemble de nombres réels dont l'ordre dépend des calculs effectués
Une liste de nombres réels classés selon leur valeur croissante
Une fonction de R\mathbb{R} dans N\mathbb{N} associant chaque nombre à son rang
Une fonction de N\mathbb{N} ou N∗\mathbb{N}^* dans R\mathbb{R} associant chaque indice nn à un nombre unu_n

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ ou $$\mathbb{N}^*$$ dans $$\mathbb{R}$$ associant chaque indice $$n$$ à un nombre $$u_n$$

Explication

Une suite numérique peut être considérée comme une fonction définie sur N\mathbb{N} ou N∗\mathbb{N}^* à valeurs réelles, qui associe nn à unu_n. Une liste non numérotée ne constitue pas une suite numérique, car elle ne fournit pas de rang aux termes.

2. Dans la notation d'une suite, que désignent respectivement nn et unu_n ?

nn désigne la règle de calcul et unu_n désigne le rang associé
nn désigne l'indice du terme et unu_n désigne sa valeur
nn désigne la valeur du terme et unu_n désigne son indice
nn désigne le premier terme et unu_n désigne le nombre de termes

$$n$$ désigne l'indice du terme et $$u_n$$ désigne sa valeur

Explication

Dans une suite, nn est l'indice ou le rang qui repère un terme, tandis que unu_n est la valeur de ce terme. Confondre ces deux notations revient à prendre le numéro du terme pour le nombre qu'il contient.

3. Quelle situation correspond à une suite définie par récurrence ?

Son sens de variation est déduit en comparant deux termes consécutifs
Ses termes sont fournis dans une liste sans indication de leur rang
Son premier terme est donné et chaque terme se calcule à partir des termes précédents
Chaque terme est obtenu directement en remplaçant l'indice dans une expression

Son premier terme est donné et chaque terme se calcule à partir des termes précédents

Explication

Une définition par récurrence fournit un premier terme ainsi qu'une relation permettant de calculer les suivants à partir des précédents. Une expression donnant directement unu_n en fonction de nn correspond, elle, à une définition explicite.

4. Pour la suite définie par v0=1v_0=1 et vn+1=vn−2v_{n+1}=v_n-2, quelle méthode permet d'obtenir ses termes successifs ?

Partir de v0v_0 et soustraire 22 à chaque terme obtenu
Multiplier chaque terme précédent par 22 avant de soustraire 11
Partir de v0v_0 et ajouter 22 à chaque terme obtenu
Calculer chaque terme directement à partir de son indice nn

Partir de $$v_0$$ et soustraire $$2$$ à chaque terme obtenu

Explication

La relation vn+1=vn−2v_{n+1}=v_n-2 impose de partir de v0=1v_0=1 puis de retrancher 22 pour obtenir chaque terme suivant. Ajouter 22 inverserait le sens de la relation de récurrence.

5. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

Pour tout nn, un+1≤unu_{n+1}\leq u_n
Pour tout nn, un+1≥unu_{n+1}\geq u_n
Pour tout nn, un≥0u_n\geq 0
Pour tout nn, un+1>unu_{n+1}>u_n

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}\geq u_n$$

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au précédent, c'est-à-dire lorsque un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout nn. La condition stricte un+1>unu_{n+1}>u_n décrit une croissance stricte, plus exigeante.

6. Une suite est décroissante lorsque quelle relation est vérifiée pour tout indice nn ?

un+1<unu_{n+1}<u_n
un+1≥unu_{n+1}\geq u_n
un+1≤unu_{n+1}\leq u_n
un≤0u_n\leq 0

$$u_{n+1}\leq u_n$$

Explication

Une suite décroissante vérifie un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout nn, ce qui autorise aussi l'égalité entre deux termes successifs. La relation stricte un+1<unu_{n+1}<u_n correspond à une décroissance stricte.

7. Quelle démarche permet d'étudier le sens de variation d'une suite ?

Comparer seulement le premier et le dernier terme connus
Calculer le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} dans toute situation
Étudier le signe de unu_n sans comparer les termes successifs
Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n puis étudier le signe de cette différence

Calculer $$u_{n+1}-u_n$$ puis étudier le signe de cette différence

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n indique si le terme suivant est supérieur, égal ou inférieur au terme précédent, et permet donc de déterminer la variation. Le signe de unu_n lui-même ne suffit pas, car une suite peut avoir des termes positifs tout en étant décroissante.

8. Comment représente-t-on graphiquement une suite numérique (un)\left(u_n\right) dans un repère du plan ?

Par un histogramme associant un terme à chaque indice
Par une courbe continue passant par chaque terme
Par le nuage de points Mn(n;un)M_n\left(n;u_n\right)
Par une droite reliant les indices successifs

Par le nuage de points $$M_n\left(n;u_n\right)$$

Explication

La représentation graphique d’une suite est constituée des points Mn(n;un)M_n\left(n;u_n\right) dans un repère. Une fonction peut être représentée par une courbe continue, mais cette caractéristique ne définit pas le graphique discret d’une suite.

9. Pour le point associé au terme u7u_7, quelles coordonnées et quels axes sont corrects ?

Le point M7(7;u7)M_7\left(7;u_7\right), avec 77 en abscisse et u7u_7 en ordonnée
Le point M7(u7;7)M_7\left(u_7;7\right), avec u7u_7 en abscisse et 77 en ordonnée
Le point M7(u7;7)M_7\left(u_7;7\right), avec 77 en abscisse et u7u_7 en ordonnée
Le point M7(7;u7)M_7\left(7;u_7\right), avec u7u_7 en abscisse et 77 en ordonnée

Le point $$M_7\left(7;u_7\right)$$, avec $$7$$ en abscisse et $$u_7$$ en ordonnée

Explication

Dans Mn(n;un)M_n\left(n;u_n\right), l’indice nn est porté sur l’axe des abscisses et le terme unu_n sur celui des ordonnées. Inverser ces deux coordonnées attribue au terme et à son indice des rôles contraires.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique (uₙ) ?

Une liste ordonnée et numérotée de nombres réels.

Comment une suite numérique peut-elle être définie comme fonction ?

C'est une fonction de ℕ ou ℕ* dans ℝ associant n à uₙ.

Comment s'appellent les nombres uₙ dans une suite ?

Les termes de la suite.

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