Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Définition et relations des suites
2. Limites des suites numériques
3. Suites arithmético-géométriques

📖 1. Définition et relations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ vers ℝ qui associe à chaque indice n un terme uₙ.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation explicite d'une suite (uₙ) s'écrit $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=f(n)$.

📐 Formule — Une suite récurrente d'ordre 1 est définie par une valeur initiale u₀ et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$.

Compléments

📌 Dans une suite numérique, uₙ désigne le terme de rang n, tandis que n désigne l'indice ou le rang du terme.

💡 Astuce mémo

Explicite : n donne uₙ ; récurrente : uₙ donne uₙ₊₁

📖 2. Limites des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d'une suite : Décrit le comportement de ses termes lorsque n tend vers +∞.

★ À maîtriser

• Les opérations sur les limites étudiées sont:
  • la limite d'une somme
  • la limite d'un produit
  • la limite d'un quotient

📌 Le théorème de comparaison et d'encadrement permet d'étudier une limite en comparant ou en encadrant les termes de la suite.

📌 Pour une suite géométrique de raison q, si q>1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$, si q=1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=1$, et si 0<q<1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$.

Compléments

• L'infini est un concept qui n'a pas d'équivalent physique et correspond ici à une limite.

💡 Astuce mémo

Quand n tend vers +∞, le comportement de uₙ détermine sa limite

📖 3. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Définie par une valeur initiale u₀ et la relation $u_{n+1}=au_n+b$, où a et b sont des réels.

📝 Points essentiels

• Pour représenter graphiquement une suite arithmético-géométrique, on pose x=uₙ et y=uₙ₊₁, on construit la courbe de f et la droite d'équation y=x, puis on représente successivement u₁=f(u₀), u₂=f(u₁) et u₃=f(u₂).

📐 Formule — Pour une suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$ avec a≠1, on détermine le réel $c=\frac{b}{1-a}$.

• Pour obtenir le terme général d'une suite arithmético-géométrique, on pose vₙ=uₙ-c, on démontre que (vₙ) est géométrique, puis on déduit les expressions de vₙ et de uₙ.

💡 Astuce mémo

Point initial → itération de f → point fixe → suite géométrique