Fiche de révision : Les gaz parfaits

📋 Plan du Cours

1. Loi macroscopique des gaz parfaits
2. Mélanges et grandeurs massiques
3. Modèle cinétique et pression
4. Température et équipartition énergétique
5. Limites et diffusion des gaz

📖 1. Loi macroscopique des gaz parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Système : Ensemble de corps présent dans une enceinte fermée.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation d’état des gaz parfaits est $PV=nRT$, où $P$ est la pression, $V$ le volume, $n$ la quantité de matière et $T$ la température.

• Les gaz réels se comportent comme des gaz parfaits lorsque la pression tend vers zéro.

Compléments

• La constante des gaz parfaits vaut $R=8{,}31$ dans les unités indiquées par l’équation d’état.

📐 Formule - À température constante, la transformation vérifie $P_1V_1=P_2V_2$.

📐 Formule - À volume constant, la transformation vérifie $\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$.

📖 2. Mélanges et grandeurs massiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Mélange idéal : Mélange dans lequel les gaz n’ont aucune interaction entre eux.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de Dalton donne la pression totale d’un mélange par $P_{\text{totale}}=\sum_{i=1}^{n}\pi_i$.

📐 Formule - La fraction molaire du constituant $i$ est $X_i=\frac{n_i}{\sum_{j=1}^{n}n_j}\times100\,\%$.

📐 Formule - La masse volumique d’un gaz est $\rho=\frac{PM}{RT}$.

Compléments

📐 Formule - La pression partielle du gaz $i$ vaut $\pi_i=\frac{n_iRT}{V}$.

📐 Formule - La fraction massique du constituant $i$ est $Y_i=\frac{m_i}{\sum_{j=1}^{n}m_j}\times100\,\%$.

📐 Formule - La masse molaire moyenne d’un mélange est $\overline{M}=\sum_{i=1}^{n}X_iM_i$, en g/mol.

• L’air contient 78 % de $N_2$, 21 % de $O_2$ et 1 % de $Ar$, de masses molaires respectives 28, 32 et 40 g/mol ; sa masse molaire moyenne vaut 29 g/mol.

• Aux CNPT, la masse volumique de l’air vaut 1,29 kg/m³.

📐 Formule - La densité d’un gaz par rapport à l’air vaut $d=\frac{\rho_{\text{gaz}}}{\rho_{\text{air}}}=\frac{M}{29}$.

📐 Formule - La masse volumique d’un gaz s’écrit aussi $\rho=\rho_0\frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T}$.

📖 3. Modèle cinétique et pression

★ À maîtriser

• Les hypothèses moléculaires du modèle sont :
  • molécules assimilées à des points sans volume
  • énergie uniquement cinétique
  • absence de cohésion
  • chocs élastiques sans perte d’énergie

📐 Formule - L’interprétation cinétique de la pression est $P_{\text{totale}}=\frac{2}{3}\frac{N}{V}\langle E_c\rangle$.

Compléments

• Le modèle suppose une densité moléculaire homogène et une distribution des vitesses homogène.

📐 Formule - La vitesse quadratique moyenne vérifie $\langle u^2\rangle=\sum_i\frac{N_i u_i^2}{N}$.

📐 Formule - L’énergie cinétique d’une molécule de masse $m$ et de vitesse $v$ est $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.

• La pression d’un gaz dépend de l’énergie cinétique moyenne des molécules, est proportionnelle au nombre de molécules par volume et est identique en tout point du récipient.

📖 4. Température et équipartition énergétique

★ À maîtriser

📐 Formule - La température absolue est reliée à l’énergie cinétique moyenne par $T=\frac{2}{3}\frac{\langle E_c\rangle}{k}$, avec $k=\frac{R}{N_A}$ et $N_A=6{,}02\times10^{23}$.

• L’équipartition tend à égaliser l’énergie cinétique moyenne entre les degrés de liberté et conduit à l’équilibre thermique.

Compléments

📐 Formule - L’énergie cinétique moyenne d’une molécule vaut $\langle E_c\rangle=\frac{3}{2}kT$.

• L’énergie cinétique moyenne indiquée pour une molécule monoatomique est $\frac{3}{2}kT$.

• L’énergie cinétique moyenne indiquée pour une molécule diatomique est $\frac{5}{2}kT$.

• L’énergie cinétique moyenne indiquée pour une molécule triatomique est $\frac{6}{2}kT$.

📖 5. Limites et diffusion des gaz

★ À maîtriser

📐 Formule - La théorie cinétique des gaz parfaits donne la vitesse quadratique moyenne $v=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$, avec $M$ en kg/mol, $R=8{,}32$ et $T$ en kelvins.

Compléments

• À température croissante, l’énergie de vibration n’est plus négligeable dans le modèle.

• À pression croissante, le volume propre des molécules n’est plus négligeable.

📐 Formule - Pour un gaz réel à pression croissante, l’équation de Van der Waals est $\left(P+\frac{an^2}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$, où $a$ caractérise les attractions intermoléculaires et $b$ est le covolume molaire.

• Les gaz légers se déplacent plus vite que les gaz lourds.

💡 Astuce mémo

Quand la pression augmente, le volume propre devient non négligeable ; quand la température augmente, les vibrations comptent davantage.