Fiche de révision : Les racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et premières propriétés
2. Calculs et simplification des racines
3. Addition et irrationnalité
4. Racines carrées en géométrie

📖 1. Définition et premières propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout nombre positif a, est le seul nombre positif dont le carré est a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout nombre positif a, $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$.

Compléments

📌 Dans √a, √ est appelé le radical et a le radicande.

• Les carrés parfaits de 0 à 225 ont pour racines carrées entières les valeurs suivantes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

💡 Astuce mémo

Le radicande est sous le radical ; la racine est le nombre dont le carré redonne le radicande.

📖 2. Calculs et simplification des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux réels strictement positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

📌 Pour deux nombres positifs a et b, $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ; la racine carrée d'une somme n'est donc pas la somme des racines carrées.

Compléments

• Pour écrire √27 sous la forme a√b avec b minimal, on décompose 27 en 9 × 3, puis on extrait √9 pour obtenir 3√3.

• L'expression 3√12 se simplifie en 6√3, car 12 = 3 × 2² et √(2²) = 2.

💡 Astuce mémo

Le produit et le quotient se séparent sous la racine, mais pas la somme.

📖 3. Addition et irrationnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers.

★ À maîtriser

📌 On peut additionner ou soustraire des racines carrées uniquement lorsqu'elles ont le même radicande.

Compléments

• L'expression 5√3 + 2√6 − 3√3 + 7√6 − 2√3 se réduit à 9√6, car les termes en √3 s'annulent et les termes en √6 s'additionnent.

📖 4. Racines carrées en géométrie

★ À maîtriser

📐 Formule - La diagonale d d'un carré de côté a vérifie $d=a\sqrt{2}$.

📐 Formule - La hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a vérifie $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Compléments

• La diagonale d'un carré de côté 27 vaut exactement 27√2.

• L'aire d'un triangle équilatéral de côté 4 vaut exactement 4√3, en utilisant A = bh/2 et h = 4√3/2.