Fiche de révision : Limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies des suites
2. Limites finies et convergence
3. Limites des suites de référence
4. Opérations sur les limites
5. Formes indéterminées et transformations
6. Comparaison et encadrement
7. Limite des suites géométriques

📖 1. Limites infinies des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Une suite (Uₙ) tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs ou égaux à A à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

• Une suite de limite +∞ ou −∞ est divergente.

Compléments

• La suite définie par Uₙ = n² tend vers +∞, car pour tout A > 0, n² ≥ A dès que n ≥ √A.

💡 Astuce mémo

Vers +∞, les termes dépassent tout seuil A ; vers −∞, ils passent sous tout seuil A.

📖 2. Limites finies et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite (Uₙ) tend vers le réel L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous ses termes à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

• Une suite qui a pour limite un réel L est dite convergente et converge vers L.

Compléments

• Pour tout a > 0, la suite 1/n appartient à l’intervalle ]−a ; a[ dès que n > 1/a ; ainsi, sa limite est 0.

• La suite définie par Uₙ = (−1)ⁿ n’a pas de limite et est divergente.

💡 Astuce mémo

Les termes se resserrent autour de L dans tout intervalle ouvert qui le contient.

📖 3. Limites des suites de référence

📝 Points essentiels

• Les suites n, n², n³, √n et eⁿ tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Les puissances et la racine croissent sans borne ; leurs inverses tendent vers 0.

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La somme de deux suites de limites finies L et L′ tend vers L + L′.

• La somme d’une suite de limite finie et d’une suite tendant vers +∞ tend vers +∞ ; avec une suite tendant vers −∞, elle tend vers −∞.

• Le produit de deux suites de limites finies L et L′ tend vers LL′.

• Le produit d’une suite tendant vers une limite finie non nulle par une suite tendant vers +∞ ou −∞ diverge avec le signe déterminé par les signes des facteurs.

• Si uₙ tend vers une limite finie non nulle L, alors 1/uₙ tend vers 1/L ; si uₙ tend vers +∞ ou −∞, alors 1/uₙ tend vers 0.

Compléments

📌 Pour un quotient uₙ/vₙ, une limite finie L′ non nulle de vₙ permet de conclure par quotient ; une limite infinie du dénominateur donne un quotient tendant vers 0 si le numérateur a une limite finie.

📖 5. Formes indéterminées et transformations

★ À maîtriser

• Les formes indéterminées présentées sont :
  • +∞ + (−∞)
  • ∞ × 0
  • 0/0
  • ∞/∞

📌 Face à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure immédiatement et il faut transformer l’écriture pour lever l’indétermination.

Compléments

• Pour n² − n³, la factorisation n³(1/n − 1) montre que la suite tend vers −∞.

• Pour (1/n)(n³ + 1), le développement donne n² + 1/n, donc la suite tend vers +∞.

• Pour (6m + 1)/(2m + 3), la division du numérateur et du dénominateur par m montre que la suite tend vers 3.

📖 6. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si Vₙ ≤ Uₙ ≤ Wₙ à partir d’un certain rang et si Vₙ et Wₙ tendent toutes deux vers L, alors Uₙ tend vers L.

Compléments

• Pour Uₙ = (−1)ⁿ + n, l’inégalité n − 1 ≤ Uₙ et la limite de n − 1 à +∞ permettent de conclure que Uₙ tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Entre deux gendarmes tendant vers L, la suite encadrée tend aussi vers L.

📖 7. Limite des suites géométriques

★ À maîtriser

📌 Pour une suite géométrique qⁿ, si q ≤ −1, la suite n’a pas de limite ; si −1 < q < 1, elle tend vers 0 ; si q = 1, elle tend vers 1 ; si q > 1, elle tend vers +∞.

Compléments

• Si q > 1, en écrivant q = 1 + α avec α > 0, on a qⁿ ≥ 1 + nα, ce qui permet de démontrer que qⁿ tend vers +∞ par comparaison.

• La suite 5 − 3 × 2ⁿ tend vers −∞, car 2ⁿ tend vers +∞ et son coefficient −3 est négatif.

💡 Astuce mémo

Pour q entre −1 et 1, qⁿ s’éteint ; au-dessus de 1, qⁿ croît sans borne.