Fiche de révision : Raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Principe et étapes de la récurrence
2. Encadrement d’une suite récurrente
3. Somme des entiers impairs
4. Montrer qu’une suite est croissante
5. Formules et suites auxiliaires

📖 1. Principe et étapes de la récurrence

📝 Points essentiels

📌 Si une propriété est vraie au rang initial n₀ et que sa vérité au rang n implique sa vérité au rang n + 1 pour tout n ≥ n₀, alors elle est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

• Pour démontrer une propriété par récurrence à partir du rang n₀, on vérifie d’abord P(n₀), on suppose ensuite P(n) vraie pour un n ≥ n₀ et on démontre P(n + 1), puis on conclut que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion : du premier rang à tous les suivants.

📖 2. Encadrement d’une suite récurrente

★ À maîtriser

• La suite définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = √(2 + Uₙ) vérifie 0 < Uₙ < 2 pour tout entier naturel n.

Compléments

• Pour l’hérédité de l’encadrement 0 < Uₙ < 2, on ajoute 2 aux trois membres, on prend les racines carrées, puis on utilise Uₙ₊₁ = √(2 + Uₙ) pour obtenir 0 < Uₙ₊₁ < 2.

📖 3. Somme des entiers impairs

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des n premiers entiers impairs vérifie $S_n=n^2$ pour tout n ∈ ℕ*.

Compléments

• Dans l’hérédité de Sₙ = n², on ajoute le terme impair suivant 2n + 1 et on utilise n² + 2n + 1 = (n + 1)² pour établir Sₙ₊₁ = (n + 1)².

📖 4. Montrer qu’une suite est croissante

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout indice n, son terme suivant est supérieur ou égal à son terme courant.

📝 Points essentiels

• Comme U₁ = 6 > U₀ = 5, l’inégalité U₁ > U₀ initialise la récurrence pour la suite définie par U₀ = 5 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ − 4.

• Si Uₙ₊₁ > Uₙ, alors la multiplication par 2 puis la soustraction de 4 donnent Uₙ₊₂ > Uₙ₊₁ pour la suite définie par Uₙ₊₁ = 2Uₙ − 4.

💡 Astuce mémo

Si chaque terme suivant est supérieur au précédent, alors la suite est croissante.

📖 5. Formules et suites auxiliaires

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour la suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ − n + 1, on obtient $u_n=2^n+n$ pour tout n ∈ ℕ.

• Avec vₙ = uₙ − 4n + 10 et uₙ₊₁ = ½uₙ + 2n − 1, le calcul donne vₙ₊₁ = ½vₙ + 4 ; cette relation est affine et ne définit pas une suite géométrique.

Compléments

• Pour la suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = ½uₙ + 2n − 1, les premiers termes calculés sont u₁ = 3/2, u₂ = 11/4 et u₃ = 47/8.