QCM : Raisonnement par récurrence (10 questions)

Question 1

1. Quelle condition permet de conclure qu’une propriété est vraie pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence ?

Elle est vraie au rang n₀ et au rang n₀ + 2, sans condition sur les rangs intermédiaires.

Elle est vraie pour un rang n supérieur à n₀ et implique sa vérité au rang n − 1.

Elle est vraie au rang n₀ et sa vérité au rang n + 1 implique celle au rang n pour tout n ≥ n₀.

Elle est vraie au rang n₀ et sa vérité au rang n implique celle au rang n + 1 pour tout n ≥ n₀.

Explication

La récurrence repose sur une propriété vraie au rang initial et sur une implication de chaque rang au suivant. Une implication du rang suivant vers le rang précédent ne permet pas de propager la propriété à tous les rangs supérieurs.

Answer

Elle est vraie au rang n₀ et sa vérité au rang n implique celle au rang n + 1 pour tout n ≥ n₀.

Question 2

2. Pour prouver par récurrence une propriété à partir du rang n₀, quelle démarche faut-il suivre ?

Vérifier P(n₀), établir P(n + 1) sans supposer P(n), puis conclure pour tous les rangs n ≥ n₀.

Vérifier P(n₀), supposer P(n) pour un n ≥ n₀, établir P(n + 1), puis conclure pour tous les rangs n ≥ n₀.

Supposer P(n) et P(n + 1) vraies, puis vérifier P(n₀) après avoir établi la conclusion générale.

Vérifier P(n₀ + 1), supposer P(n + 1), établir P(n), puis conclure pour tous les rangs n ≥ n₀.

Explication

La démarche comprend l’initialisation, l’hypothèse de récurrence, l’hérédité vers le rang suivant et la conclusion. Établir P(n + 1) sans supposer P(n) omet l’étape qui relie les rangs successifs.

Answer

Vérifier P(n₀), supposer P(n) pour un n ≥ n₀, établir P(n + 1), puis conclure pour tous les rangs n ≥ n₀.

Question 3

3. Pour la suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ , quel encadrement est valable pour tout entier naturel n ?

-2<U_n<1

1\leq U_n<2

0<U_n<2

0<U_n\leq 2

Explication

La suite vérifie l’encadrement strict $0<U_n<2$ à chaque rang naturel. L’encadrement $1\leq U_n<2$ est trop restrictif, car la propriété établie n’impose pas de borne inférieure égale à 1.

Answer

$$0<U_n<2$$

Question 4

4. En supposant $0<U_n<2$ , quelle opération permet d’obtenir l’encadrement de $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ ?

Ajouter 2 aux trois membres, élever au carré, puis utiliser la relation de récurrence.

Soustraire 2 aux trois membres, prendre les racines carrées, puis utiliser la relation de récurrence.

Ajouter 2 aux trois membres, prendre les racines carrées, puis utiliser la relation de récurrence.

Multiplier les trois membres par 2, prendre les racines carrées, puis utiliser la relation de récurrence.

Explication

L’ajout de 2 donne $2<2+U_n<4$ ; les racines carrées conduisent alors à $\sqrt{2}<U_{n+1}<2$ , donc en particulier à l’encadrement recherché. Élever au carré ne produit pas directement l’encadrement de la racine qui définit le terme suivant.

Answer

Ajouter 2 aux trois membres, prendre les racines carrées, puis utiliser la relation de récurrence.

Question 5

5. Quelle formule donne la somme des n premiers entiers impairs, pour $n\in\mathbb{N}^*$ ?

S_n=2n+1

S_n=2n^2

S_n=n^2

S_n=n(n+1)

Explication

La somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de leur nombre, soit $S_n=n^2$ . L’expression $2n+1$ correspond au terme impair qui suit les n premiers termes, et non à leur somme.

Answer

$$S_n=n^2$$

Question 6

6. Dans l’étape d’hérédité de la formule $S_n=n^2$ , quelle opération permet d’établir la formule au rang n + 1 ?

Ajouter le terme suivant

2n-1

et utiliser

n^2+2n+1=(n+1)^2

.

Multiplier la somme par

2n+1

et utiliser

n^2(2n+1)=(n+1)^2

.

Ajouter le terme suivant

2n+1

et utiliser

n^2+2n+1=n^2+1

.

Ajouter le terme suivant

2n+1

et utiliser

n^2+2n+1=(n+1)^2

.

Explication

Le terme impair suivant est $2n+1$ ; ajouté à la somme supposée égale à $n^2$ , il donne le carré suivant grâce à l’identité du binôme. Ajouter $2n-1$ ne correspond pas au terme qui suit les n premiers entiers impairs.

Answer

Ajouter le terme suivant $$2n+1$$ et utiliser $$n^2+2n+1=(n+1)^2$$.

Question 7

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

La somme de deux termes consécutifs est supérieure ou égale à zéro.

À partir d’un certain indice, les termes sont tous égaux au terme courant.

Pour tout indice, le terme suivant est strictement supérieur au terme courant.

Pour tout indice, le terme suivant est supérieur ou égal au terme courant.

Explication

Une suite est croissante si chaque terme suivant est supérieur ou égal au terme qui le précède. La croissance n’exige pas une inégalité stricte : deux termes consécutifs peuvent être égaux.

Answer

Pour tout indice, le terme suivant est supérieur ou égal au terme courant.

Question 8

8. Pour la suite définie par $U_{n+1}=2U_n-4$ , quelle déduction permet de poursuivre une preuve par récurrence de sa croissance ?

Si

U_{n+1}>U_n

, alors

U_{n+2}=U_{n+1}

.

Si

U_{n+1}>U_n

, alors

U_{n+2}>U_n

, sans comparaison avec

U_{n+1}

.

Si

U_{n+1}>U_n

, alors

U_{n+2}>U_{n+1}

.

Si

U_{n+1}>U_n

, alors

U_{n+2}<U_{n+1}

.

Explication

La récurrence donne $U_{n+2}=2U_{n+1}-4$ et $U_{n+1}=2U_n-4$ ; la multiplication de l’inégalité par 2 puis la soustraction de 4 préservent l’ordre. Conclure que le terme suivant est inférieur contredirait cette préservation de l’ordre.

Answer

Si $$U_{n+1}>U_n$$, alors $$U_{n+2}>U_{n+1}$$.

Question 9

9. Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$ , quelle expression explicite vaut pour tout entier naturel $n$ ?

u_n=2^n+n

u_n=2^n+n+1

u_n=2^n-n

u_n=2n+1

Explication

La formule explicite associée à cette récurrence est $u_n=2^n+n$ pour tout entier naturel. L’expression $2^n-n$ modifie le signe du terme en $n$ et ne correspond pas à la formule obtenue.

Answer

$$u_n=2^n+n$$

Question 10

10. Si $v_n=u_n-4n+10$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ , quelle relation obtenue décrit la suite auxiliaire $v_n$ ?

v_{n+1}=2v_n+4

, une relation affine avec un terme additionnel.

v_{n+1}=\frac12v_n

, une relation géométrique sans terme additionnel.

v_{n+1}=v_n+4

, une relation arithmétique à différence constante.

v_{n+1}=\frac12v_n+4

, une relation affine avec un terme additionnel.

Explication

En remplaçant $u_n$ par son expression en fonction de $v_n$ , on obtient $v_{n+1}=\frac12v_n+4$ , qui comporte un terme additionnel. Une suite géométrique vérifierait une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$ , sans ce terme.

Answer

$$v_{n+1}=\frac12v_n+4$$, une relation affine avec un terme additionnel.

QCM : Raisonnement par récurrence (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition permet de conclure qu’une propriété est vraie pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence ?

2. Pour prouver par récurrence une propriété à partir du rang n₀, quelle démarche faut-il suivre ?

3. Pour la suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ , quel encadrement est valable pour tout entier naturel n ?

4. En supposant $0<U_n<2$ , quelle opération permet d’obtenir l’encadrement de $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ ?

5. Quelle formule donne la somme des n premiers entiers impairs, pour $n\in\mathbb{N}^*$ ?

6. Dans l’étape d’hérédité de la formule $S_n=n^2$ , quelle opération permet d’établir la formule au rang n + 1 ?

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

8. Pour la suite définie par $U_{n+1}=2U_n-4$ , quelle déduction permet de poursuivre une preuve par récurrence de sa croissance ?

9. Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$ , quelle expression explicite vaut pour tout entier naturel $n$ ?

10. Si $v_n=u_n-4n+10$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ , quelle relation obtenue décrit la suite auxiliaire $v_n$ ?

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QCM : Raisonnement par récurrence (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition permet de conclure qu’une propriété est vraie pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence ?

2. Pour prouver par récurrence une propriété à partir du rang n₀, quelle démarche faut-il suivre ?

3. Pour la suite définie par U0=1U_0=1U0​=1 et Un+1=2+UnU_{n+1}=\sqrt{2+U_n}Un+1​=2+Un​​, quel encadrement est valable pour tout entier naturel n ?

4. En supposant 0<Un<20<U_n<20<Un​<2, quelle opération permet d’obtenir l’encadrement de Un+1=2+UnU_{n+1}=\sqrt{2+U_n}Un+1​=2+Un​​ ?

5. Quelle formule donne la somme des n premiers entiers impairs, pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^*n∈N∗ ?

6. Dans l’étape d’hérédité de la formule Sn=n2S_n=n^2Sn​=n2, quelle opération permet d’établir la formule au rang n + 1 ?

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

8. Pour la suite définie par Un+1=2Un−4U_{n+1}=2U_n-4Un+1​=2Un​−4, quelle déduction permet de poursuivre une preuve par récurrence de sa croissance ?

9. Pour la suite définie par u0=1u_0=1u0​=1 et un+1=2un−n+1u_{n+1}=2u_n-n+1un+1​=2un​−n+1, quelle expression explicite vaut pour tout entier naturel nnn ?

10. Si vn=un−4n+10v_n=u_n-4n+10vn​=un​−4n+10 et un+1=12un+2n−1u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1un+1​=21​un​+2n−1, quelle relation obtenue décrit la suite auxiliaire vnv_nvn​ ?

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3. Pour la suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ , quel encadrement est valable pour tout entier naturel n ?

4. En supposant $0<U_n<2$ , quelle opération permet d’obtenir l’encadrement de $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ ?

5. Quelle formule donne la somme des n premiers entiers impairs, pour $n\in\mathbb{N}^*$ ?

6. Dans l’étape d’hérédité de la formule $S_n=n^2$ , quelle opération permet d’établir la formule au rang n + 1 ?

8. Pour la suite définie par $U_{n+1}=2U_n-4$ , quelle déduction permet de poursuivre une preuve par récurrence de sa croissance ?

9. Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$ , quelle expression explicite vaut pour tout entier naturel $n$ ?

10. Si $v_n=u_n-4n+10$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ , quelle relation obtenue décrit la suite auxiliaire $v_n$ ?