Raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Principe et étapes de la récurrence
2. Encadrement d’une suite récurrente
3. Somme des entiers impairs
4. Montrer qu’une suite est croissante
5. Formules et suites auxiliaires

📖 1. Principe et étapes de la récurrence

📝 Points essentiels

📌 Si une propriété est vraie au rang initial n₀ et que sa vérité au rang n implique sa vérité au rang n + 1 pour tout n ≥ n₀, alors elle est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

• Pour démontrer une propriété par récurrence à partir du rang n₀, on vérifie d’abord P(n₀), on suppose ensuite P(n) vraie pour un n ≥ n₀ et on démontre P(n + 1), puis on conclut que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion : du premier rang à tous les suivants.

📖 2. Encadrement d’une suite récurrente

★ À maîtriser

• La suite définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = √(2 + Uₙ) vérifie 0 < Uₙ < 2 pour tout entier naturel n.

Compléments

• Pour l’hérédité de l’encadrement 0 < Uₙ < 2, on ajoute 2 aux trois membres, on prend les racines carrées, puis on utilise Uₙ₊₁ = √(2 + Uₙ) pour obtenir 0 < Uₙ₊₁ < 2.

📖 3. Somme des entiers impairs

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des n premiers entiers impairs vérifie $S_n=n^2$ pour tout n ∈ ℕ*.

Compléments